Notes

Notes diverses du chapitre sur l’atmosphère

¹Remarque sur la constante A

A dépend des unités employées, mais aussi des sources…

L’expression classique de l’équation d’état (1) p = A ρ T est p = (R / M) ρ T où R est la constante des gaz parfaits et M la masse molaire de l’air.

En général, on trouve M = 28,9644 g/mol, mais R varie selon les sources : on trouve R = 8,31432 J/(mol K) (valeur qui semble avoir été retenue pour les calculs d’atmosphère standard) et R = 8,31447 J/(mol K) dans des sources plus récentes comme le site du NIST (National Institute of Standards and Technology, USA).

Dans le premier cas, on trouve ρ_0std = M p_0std / (R T_0std) = 1224,999 g/m³ ; dans le second, ρ_0std = 1224,977 g/m³.
De façon à rester proche des valeurs publiées de l’atmosphère standard, j’ai choisi d’adopter directement ρ_0std = 1225 g/m³, ce qui dispense d’expliciter R et M.

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²Résolution des équations (1) et (2) en atmosphère standard

(1) p = A ρ T
(2) dp = – ρ g dZ.

Remarque : l’équation (2) montre que si p est en hPa, Z est en hm.

Des équations (1) et (2) on tire dp / p = – ρ g dZ / (A ρ T) et donc (N1) dp / p = – g dZ / (A T)

Comme T = T_0std – µ Z, on a dT = – µ dZ avec µ = 0,65 puisque Z est en hm ; donc dp / p = g dT / (µ A T)

Posons α = g / (µ A)
(N1) implique alors dp / p = α dT / T
D’où ln(p) = α ln(T) + C où C est donné par ln(p_0std) = α ln(T_0std) + C
p = p_0std (T / T_0std)^α avec α = g / (µ A) = g / (0,65 A)

T / T_0std s’écrit aussi sous la forme T / T_0std = (T_0std – µ Z) / T_0std = 1 – (µ / T_0std) Z
Comme on l’a vu précédemment, on peut, dans cette expression, adopter pour Z une unité quelconque si µ est choisi en conséquence (seul le produit µ Z importe) ; on peut donc revenir à Z en kft (unité plus usuelle que l’hectomètre !) avec µ = 1,9812.
Posons Z₀ = T_0std / µ ; On a alors p = p_0std [1 – (Z /Z₀)]^α avec α = g / (0,65 A) et Z₀ = T_0std / µ où µ = 1,9812.

Commentaire sur la relation T = T_0std – µ Z

Avec les équations dont nous disposons maintenant, nous pouvons chercher une explication physique à la relation T = T_0std – µ Z, dans le comportement adiabatique de l’atmosphère suggéré par le CNES.

Ce comportement adiabatique se traduit, pour un volume V à la pression p, par p V^γ = Cte ; ou, de façon équivalente par p ρ^-γ = Cte, puisque ρ = masse / V. Avec, classiquement, γ = 1,4 pour l’air sec.
Or on a aussi, du fait de l’équation d’état du gaz parfait, p / (ρ T) = A qui, en élevant à la puissance -γ donne p^-γ ρ^γ T^γ = A^-γ.
En faisant le produit des deux expressions on élimine le terme en ρ et on obtient p^1-γ T^γ = Cte, ou, en différenciant, (1 – γ) dp/p = – γ dT/T

Or l’équation (N1) nous donne dp / p = – g dZ / (A T) ; donc γ dT/T = (1 – γ) g dZ / (A T)
D’où dT = – (γ – 1) g dZ / (A γ) et donc T = T_0std – µ Z avec µ = [1 – (1 / γ)] g / A.

C’est tellement beau que là, on s’attend à ce que γ = 1,4 donne µ = 0,65 puisque Z est en hm. Malheureusement, on obtient µ = 0,98. Pour obtenir µ = 0,65 il faudrait que γ = 1,235.
Pourquoi pas, après tout dans l’atmosphère, on n’a pas que de l’air sec : il y a de l’eau, des mouettes dont l’étude expérimentale de la compression adiabatique est interdite, etc.

Mais plus sérieusement, la bonne explication est que l’atmosphère n’a pas un comportement adiabatique : on a bien p ρ^-a = Constante, mais avec a différent de γ. D’ailleurs, pour exprimer p en fonction de Z, le CNES utilise la même formule que nous (avec α arrondi à 5,256) et non celle qui résulterait de µ = [1 – (1 / γ)] g / A avec γ = 1,4.

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³Altitude réelle Z et altitude géopotentielle H.

Source : PDAS (Public Domain Aeronautical Software).

L’idée est de créer une nouvelle échelle des altitudes qui ramène l’accélération de la pesanteur à une constante g₀ : g₀ = 9,80665 m/s², valeur de g pour Z = 0 et à 45,5425° de latitude (ça ne s’invente pas !).

Avec cette échelle, la variation d’énergie potentielle correspondant à un petit déplacement vertical dH est égale à g₀ dH. Le même déplacement se traduit par une variation dZ de l’altitude réelle, et la variation d’énergie potentielle est maintenant donnée par g dZ (g étant fonction de Z). H est donc définie par l’équation différentielle g₀ dH = g dZ.

Si r₀ est le rayon terrestre à la même latitude que celle à laquelle on a déterminé g₀, on a l’équation connue g / g₀ = [r₀ / (r₀ + Z)]².
L’équation différentielle s’écrit donc dH = (g / g₀) dZ = [r₀ / (r₀ + Z)]² dZ.

Donc H = Cte – r₀² / (r₀ + Z)
Si on ajoute la condition H = 0 pour Z = 0, on a 0 = Cte – r₀² / (r₀ + 0) et donc Cte = r₀.
D’où H = r₀ Z / (r₀ + Z), et réciproquement Z = r₀ H / (r₀ – H)

L’avantage apporté par l’altitude géopotentielle H est que l’intégration de dp / p = – g dH / (A T) qui mène au calcul de p en fonction de H est simplifiée par le fait que g = g₀.
En supposant que g est constant dans l’équation (N1) dp / p = – g dZ / (A T), nous avons en fait admis implicitement que Z = H.
Sachant que r₀ # 6 357 km (j’ai lu que r₀ = 6 356, 766 km !), l’erreur pour Z = 11 km est de Z – H = Z – r₀ Z / (r₀ + Z) = Z² / (r₀ + Z) = 0,019 km soit 19 m ou encore 62 ft.

Une telle erreur est suffisante pour se convaincre que les calculs d’altitude à quelques ft près n’ont d’intérêt pratique que l’évaluation de la précision des formules. Mais elle reste assez faible pour qu’on se dispense d’appliquer une correction à tous les calculs…

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⁴Développement limité de Z_p = Z₀ [1 – (p / p_0std)^1/α]

Comme p # p_0std, il est commode de poser p / p_0std = 1 + ε ; d’où ε = (p / p_0std) – 1 = (p – p_0std) / p_0std

Z_p = Z₀ [1 – (p / p_0std)^1/α] = Z₀ [1 – (1 + ε)^1/α];
Z_p # Z₀ [1 – (1 + ε / α)] = – ε Z₀ / α = (p_0std – p) Z₀ / (α p_0std)

Z_p # [T_0std / (µ α p_0std)] (p_0std – p)

Avec p_0std = 1013,25 ; T_0std = 288,15 ; µ = 1,9812 ; α = 5,25588 et Z_p en kft on a
T_0std / (µ α p_0std) # 0,0273

Cette formule étant rapidement fausse quand p s’éloigne de p_0std nous limiterons son application aux pressions comprises dans la fenêtre de calage de l’altimètre (950 à 1050 hPa). Comme ε varie alors de – 0,062 à + 0,037 l’emploi de la formule est légitime.
On note qu’au lieu de la valeur classique de 28 ft/hPa (qui a l’avantage d’être applicable à des pressions plus basses, mais conduit à des erreurs plus fortes aux hautes pressions) on trouve ici, avec une approximation du 1^er ordre, 27,3 ft / hPa (avec des avantages et inconvénients inverses).
Un bon compromis (facile à vérifier avec un tableur) est de choisir une valeur intermédiaire de 27,6 ft/hPa qui conduit à une erreur maximum inférieure à 30 ft aux extrémités de la fenêtre de calage. Par contre, si on veut étendre le domaine d’application à des altitudes plus élevées et donc des pressions plus faibles, on peut prendre la valeur de 28 ft/hPa.

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⁵Affichage Z_ind de l’altimètre calé à la pression p_c

Rappel des hypothèses :

• (H1) Z_ind = Z_p – Z_pc où Z_p est l’altitude pression correspondant à p et Z_pc l’altitude pression correspondant à p_c
• (H2) Z_ind = Z₀ [1 – (p / p_c)^1/α]

Prenons deux pressions p₁ et p₂. L’altimètre calé à p_0std affiche respectivement Z_p1 et Z_p2. Donc on trouve une différence égale à Z_p2 –
Z_p1 entre les deux points de mesure, et cela dans les deux hypothèses H1 et H2. Cette différence correspond, en atmosphère standard, à la hauteur entre les deux points de mesure ; il serait logique qu’en changeant le calage de l’altimètre, cette différence soit inchangée.

L’altimètre calé à p_c quelconque affiche selon l’hypothèse

• H1 : Z_ind1 = Z_p1 – Z_pc et Z_ind2 = Z_p2 – Z_pc
  D’où Z_ind2 – Z_ind1 = Z_p2 – Z_p1.
  La différence d’altitude pression est bien conservée.

• H2 : Z_ind1 = Z₀ [1 – (p₁ / p_c)^1/α] et Z_ind2 = Z₀ [1 – (p₂ / p_c)^1/α] Donc Z_ind2 – Z_ind1 = Z₀ [(p₁ / p_c)^1/α – (p₂ / p_c)^1/α] Z_ind2 – Z_ind1 = Z₀ (p₁^1/α – p₂^1/α) / p_c^1/α
  Or Z_p2 – Z_p1 = Z₀ (p₁^1/α – p₂^1/α) / p_0std^1/α
  Donc Z_ind2 – Z_ind1 = Z_p2 – Z_p1 implique que p₁ = p₂ ou p_c = p_0std, ce qui n’est pas le cas général recherché.

Seule l’hypothèse H1 convient.

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⁶Démonstration de Z_ρ # Z_p + 0,1186 Δt

On part de Z_ρ = Z_p + (T_std / µ) [1 – (T_std / T)^1/(α-1)]

T_std = T_0std – µ Z_p donc T_std / µ = (T_0std / µ) – Z_p

T = T_std + Δt ; posons T = T_std (1 + ε) avec ε = Δt / T_std
On a alors (T_std / T)^1/(α-1) = (1 + ε)^-1/(α-1) # 1 – ε / (α-1)
Donc 1 – (T_std / T)^1/(α-1) # 1 – 1 + ε / (α-1) = ε / (α-1) = Δt / [(α-1) T_std]

En reportant ces valeurs dans l’expression donnant Z_ρ, on obtient
Z_ρ # Z_p + Δt (T_std / µ) / [(α-1) T_std]

ce qui donne Z_ρ # Z_p + Δt / [(α-1) µ]

Comme 1 / [(α-1) µ] = 0,1186 avec µ = 1,9812
Z_ρ # Z_p + 0,1186 Δt

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⁷Rappel des notations

Si ce n’est pas clair, relisez tout ce qui précède. Non, je plaisante…

Mais peut-être faut-il rappeler les notations qui vont être souvent employées dans la suite : à une pression p on associe Z(p) qui est l’altitude réelle où règne la pression p, et Z_p qui est l’altitude pression correspondant à p, c’est-à-dire l’altitude à laquelle on trouverait la pression p en atmosphère standard.

Z(QFE) = Z_AD signifie simplement que QFE est la pression qui règne à l’altitude réelle Z_AD, ou inversement qu’à la pression QFE correspond l’altitude réelle Z_AD.
Mais comme à la pression QFE on sait aussi associer l’altitude pression Z_QFE, on peut dire de façon moins simple que « Z(QFE) est l’altitude réelle correspondant à l’altitude pression Z_QFE« , la correspondance en question étant qu’aux deux altitudes (altitude réelle et altitude en atmosphère standard) règne la même pression QFE.

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⁸Résolution des équations (1) et (2) en atmosphère quelconque

(1) p = A ρ T
(2) dp = – ρ g dZ.

On en tire dp / p = – ρ g dZ / (A ρ T) et donc (N1) dp / p = – g dZ / (A T)

Par ailleurs, on a p = p_0std [1 – (Z_p / Z₀)]^α par définition de Z_p
Donc p / p_0std = [(Z₀ – Z_p) / Z₀]^α
En différenciant on obtient (N2) dp / p = – α dZ_p / (Z₀ – Z_p)

Le rapprochement des deux expressions (N1) et (N2) de dp / p donne :
– g dZ / (A T) = – α dZ_p / (Z₀ – Z_p) avec T = µ (Z₀ – Z_p) + Δt
dZ = T dZ_p / [µ(Z₀ – Z_p)] dZ = [µ (Z₀ – Z_p) + Δt] dZ_p / [µ(Z₀ – Z_p)] dZ = [1 + (Δt / µ) / (Z₀ – Z_p)] dZ_p

En intégrant, on obtient :
(N3) Z = Z_p – (Δt / µ) ln(Z₀ – Z_p) + C
Comme l’équation (N3) s’applique aux valeurs Z(Q) et Z_Q d’une part, et aux valeurs Z(p) et Z_p d’autre part, on a
Z(p) = Z_p – (Δt / µ) ln(Z₀ – Z_p) + C
Z(Q) = Z_Q – (Δt / µ) ln(Z₀ – Z_Q) + C
et donc par différence :
(3) Z(p) – Z(Q) = Z_p – Z_Q – (Δt / µ) ln[(Z₀ – Z_p) / (Z₀ – Z_Q)]

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⁹Formule (M bis) sous la forme ΔZ # ΔZ_p T / T_std

Partons de la formule (3)
(3) Z(p) – Z(Q) = (Z_p – Z_Q) – (Δt / µ) ln[(Z₀ – Z_p ) / (Z₀ – Z_Q)]

Si Δt = 0 alors Z(p) = Z(Q) + (Z_p – Z_Q)

On suppose dans la suite que Δt est non nul.

Dans la formule (3), Z_p et Z_Q n’ont pas un rôle totalement symétrique.
Pour tendre vers une formule (M) symétrique (ne privilégiant ni p ni Q), une bonne idée est de « partir du milieu » et de définir une altitude pression moyenne : Z_M = (Z_Q + Z_p) / 2 = Z_Q + (ΔZ_p / 2).

On note que, puisque 2 Z_M = Z_Q + Z_p, on a bien sûr Z_p – Z_M = Z_M – Z_Q (= ΔZ_p / 2).

Posons pour simplifier les notations T_M = T_std(Z_M) = µ (Z₀ – Z_M).

On en déduit que Z₀ – Z_p = Z₀ – Z_M + Z_M – Z_p = (T_M / µ) – (Z_p – Z_M)
Et, de même, Z₀ – Z_Q = Z₀ – Z_M + Z_M – Z_Q = (T_M / µ) + (Z_M – Z_Q)

Posons X = µ (Z_M – Z_Q) / T_M
On a donc X T_M / µ = Z_p – Z_M = Z_M – Z_Q = ΔZ_p / 2.

L’argument de la fonction ln peut s’écrire,
(Z₀ – Z_p ) / (Z₀ – Z_Q) = (1 – X) / (1 + X)

Donc (3) devient
µ ΔZ = 2 X T_M + Δt ln[(1 + X) / (1 – X)]

Si ΔZ_p = Z_p – Z_Q = 2 X T_M / µ est « assez petit » pour que X << 1, on peut utiliser le développement limité de ln [(1 + X) / (1 – X)] qui est :
ln [(1 + X) / (1 – X)] # 2 X + 2 X³ / 3

On a alors : µ ΔZ # 2 X T_M + 2 Δt (X + X³ / 3)
µ ΔZ # 2 X (T_M + Δt) + 2 Δt X³ / 3

Comme T_M + Δt = T(Z_M) (température réelle) on a
µ ΔZ # 2 X T(Z_M) + 2 Δt X³ / 3
µ ΔZ # µ T(Z_M) ΔZ_p / T_M + (2 Δt / 3) [(µ ΔZ_p) / (2 T_M)]³
ΔZ # ΔZ_p [T(Z_M) / T_M] + µ² Δt (ΔZ_p / T_M)³ / 12

D’où la formule approchée (M bis) ΔZ /T(Z_M) # ΔZ_p / T_M avec T(Z_M) = T_M + Δt

Précision

En appliquant la formule (M) au calcul de ΔZ, on arrive à la valeur approchée ΔZ_approx = ΔZ_p [T(Z_M) / T_M] Donc ΔZ # ΔZ_approx + µ² Δt (ΔZ_p / T_M)³ / 12
ΔZ_approx – ΔZ # – µ² Δt (ΔZ_p / T_M)³ / 12
Cette expression fournit l’ordre de grandeur de l’erreur commise sur le calcul de ΔZ, soit puisque µ # 2, ΔZ_approx – ΔZ # – Δt (ΔZ_p / T_M)³ / 3

Notre modèle étant limité à la troposphère : Z_p ≤ 35 kft et Z_Q ≥ 0

Sans perdre de temps à le démontrer, ΔZ_p / T_M est évidemment maximum pour ΔZ_p = 35 kft et Z_M = ΔZ_p / 2. On a alors T_M = T_0std – 35 µ / 2 = 253 K.
Si Δt = 25 °C, Δt (ΔZ_p / T_M)³ / 3 est majoré par 25 x (35 / 253)³ / 3 = 0,022 kft soit 22 ft.

Ceci dit, Δt (ΔZ_p / T_std)³ / 3 fournit un ordre de grandeur mais n’est pas un majorant de l’erreur. Donc plutôt que de travailler sur le développement limité, mieux vaut directement calculer l’erreur sur ΔZ qui vaut:
(Δt / µ) {2 X – ln [(1 + X) / (1 – X)]} avec X = (µ ΔZ_p) / (2 T_M).

Avec ΔZ_p = 35 kft ; T_M = T_0std – 35 µ / 2 = 253 K ; Δt = 25 °C et donc X # ΔZ_p / T_M = 0,138.
Le calcul avec cette valeur de X confirme l’erreur de 22 ft.

On voit que l’hypothèse selon laquelle ΔZ_p est « assez petit » (pour que l’approximation sur le calcul de ΔZ soit correcte) est vérifiée. La formule (M) est applicable dans toute la troposphère (35 kft) avec T_M déterminée à mi-parcours entre Z_Q et Z_p.

Mais c’est là que ça se complique un peu, car même si on peut aisément calculer T_M à mi-parcours , il est tentant d’utiliser la température standard T_std que l’on connait, voire T_0std. Il est donc important de voir la sensibilité de la formule (M) au rapport T / T_std choisi pour le calcul de ΔZ.

Influence du point de calcul du rapport T / T_std

La formule générale donnant T / T_std est
T / T_std = (T_std + Δt) / T_std
avec T_std = T_0std – µ Z_p

Valeur approchée calculée : ΔZ_{appr_M} = ΔZ_p [T(Z_M) / T_M] Si au lieu de cela on calcule ΔZ_{appr_p} = ΔZ_p [T(Z_p) / T_p], on commet une erreur relative
δ = (ΔZ_{appr_p} – ΔZ_{appr_M}) / ΔZ_{appr_M}
δ = {[T(Z_p) / T_p] – [T(Z_M) / T_M]} T_M / T(Z_M)

Posons K = [T(Z_p) / T_p] – [T(Z_M) / T_M] K = [T(Z_p) T_M – T(Z_M) / T_p] / [T(Z_p) T(Z_M)] K = [T(Z_p) T_M – T(Z_M) / T_p] / [T(Z_p) T(Z_M)] K = Δt [T_M – T_p] / [T(Z_p) T(Z_M)] K = Δt µ [Z_p – Z_M] / [T(Z_p) T(Z_M)] K = Δt µ ΔZ_p/ [2 T(Z_p) T(Z_M)]

On peut, pour évaluer l’ordre de grandeur de l’erreur, prendre µ # 2 (mais en notant bien que les altitudes sont obligatoirement en kft dans la suite du calcul d’erreur).

δ = K T_M / T(Z_M)
En tenant compte de µ # 2 on voit que l’erreur relative sur ΔZ est
δ = Δt ΔZ_p T_M / [T(Z_p) T(Z_M)²]

On voit que l’erreur relative est maximum si ΔZ_p l’est et si T(Z_p) est minimum, c’est à dire Z_p maximum et Δt = – 25 °C
Prenons donc Z_p = 12 kft (FL 120), Z_M = 6 kft ; et donc ΔZ_p = 12 kft
T_M = 288 – 2 x 6 = 276 ; T(Z_M) = T_M – 25 = 251
T_p = 288 – 2 x 12 = 264 ; T(Z_p) = T_p – 25 = 239
δ = – 25 x 12 x 276 / [239 x 251²] = – 0,0055

Comme ΔZ # ΔZ_p T(Z_M) / T_M = 12 x 251 / 276 = 10,913 kft, l’erreur absolue est de – 0,0055 x 10,913 kft = – 0,060 kft

Remplaçons maintenant p par Q, ce qui revient à dire que maintenant on estime T / T_std à l’altitude pression Z_Q au lieu de Z_M

On a une erreur relative sur ΔZ égale à
δ = Δt ΔZ_p T_M / [T(Z_Q) T(Z_M)²]

Pour Q donné, δ est maximum si ΔZ_p (et dont Z_p) l’est, et si Δt = – 25 °C
Il est intéressant de prendre Q = p_0std puisque Z_Q = 0 et T_Q = 288
Prenons encore Z_p = 12 kft (FL 120), Z_M = 6 kft ; et donc ΔZ_p = 12 kft
T_M = 288 – 2 x 6 = 276 ; T(Z_M) = T_M – 25 = 251
T_Q = 288 ; T(Z_p) = T_p – 25 = 263
δ = – 25 x 12 x 276 / [288 x 251²] = – 0,0046

Comme ΔZ est inchangé # ΔZ_p T(Z_M) / T_M = 12 x 251 / 276 = 10,913 kft, l’erreur absolue est de – 0,0046 x 10,913 kft = – 0,050 kft

Le fait de prendre T_std « en bas » plutôt qu' »en haut » (Q au lieu de p) est favorable grâce au terme en 1 / T(Z_Q) au lieu de 1 / T(Z_p) dans le calcul de l’erreur relative.

On note que si Q correspond à une pression entre 990 et 1040 hPa (plage maxi du QFF et du QNH), Z_Q varie de – 723 à + 641 ft. Donc si au lieu de la valeur de T_Q (qui va de 288 + 2 x 0,72 = 289,5 à 288 – 2 x 0,64 = 286,5) on prend systématiquement 288, on introduit (en gros, car Δt intervient) une erreur relative de 1,5 / 288 = 0,5 %. Pour que cela fasse 50 ft, il faut que ΔZ_p = 10 kft.
Donc on peut admettre que la formule (M) s’applique jusqu’au FL 100 avec T_std = T_0std dès lors que Q est un QNH ou un QFF (autrement dit, pas si c’est un QFE d’un aérodrome d’altitude).

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¹⁰Calcul de T / T_std ou T_std / T quand T_std # T_0std

Les formules (M) et (M bis) comportent un terme multiplicatif (T / T_std) ou (T_std / T) avec T = T_std + Δt
On a vu que ce terme doit, idéalement, être calculé à l’altitude pression moyenne (Z_Q + Z_p) / 2 = Z_Q + (ΔZ_p / 2)

On a vu également que pour peu (!) qu’on reste en dessous du FL 120, et que Q soit compris entre 990 et 1040 hPa, on peut prendre T_std = T_0std. Si Q correspond à un QFE et se rapproche de la limite de la fenêtre de calage, l’erreur relative tend vers 2 x 1,77 / 288 = 0,012 puisque Z_{950 hPa} = 1,77 kft. Il faut encore que ΔZ_p ou ΔZ_p atteigne 4 kft pour que cela corresponde à une erreur de 50 ft.

Dans (T / T_0std), le terme Δt / T_0std introduit par tranche de 3000 ft et 10°C une correction de 10 x 3000 / 288 = 104 ft.
Avec (T_0std / T) = 1 / [1 + (Δt / T_0std)] on n’obtient pas la valeur approché [1 – (Δt / T_0std)] mais en fait une correction de 95 ft par tranche de 3000 ft et 10°C.
Il en résulte qu’en pratique, on peut écrire (T / T_0std) = [1 + (Δt / T_0std)] et (T_std / T) = [1 – (Δt / T_0std)] pour peu qu’on prenne un terme correctif moyen de 100 ft par tranche de 3000 ft et de 10°C, ou encore 1 % par tranche de 3°C.

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¹¹Démonstration de (9) Z_p # Z_Q + {[T² + 2 µ [Z(p) – Z(Q)] Δt]^1/2 – T} (Z₀ – Z_Q) / Δt

Partons de la variante de la formule (3) :
(N4) ΔZ = ΔZ_p – (Δt / µ) ln[1 – (µ ΔZ_p / T_std)] avec T_std = T_std(Z_p)

Si Δt = 0 alors ΔZ_p = ΔZ

On suppose dans la suite que Δt est non nul.

Posons X = µ ΔZ_p / T_std ; l’équation devient
µ ΔZ = X T_std – Δt ln (1 – X)

Le développement limité de ln (1 – X) étant ln (1 – X) # – X – X² / 2, on a quand X (et donc ΔZ_p) est « assez petit »
µ ΔZ # X T_std + Δt (X + X² / 2)
µ ΔZ # X (T_std + Δt) + Δt X² / 2

Comme T_std + Δt = T (température réelle) on a
µ ΔZ # X T + Δt X² / 2

X peut donc être approximé comme la racine de l’équation du second degré
Δt X² / 2 + X T – µ ΔZ = 0

Δ = T² + 4 µ ΔZ Δt / 2 = T² + 2 µ ΔZ Δt

Signe de Δ (on se doute qu’il est positif ou nul puisqu’à toute altitude correspond une altitude pression, donc une racine !) :

Quand Δt est positif, Δ est positif.
Quand Δt est négatif, le pire cas est obtenu pour |Δt| maximum.
Prenons Δt = – 25°C ; l’ordre de grandeur de T est alors de 288 – 25 # 260 K ; pour que Δ s’annule, il faudrait que ΔZ atteigne 670 kft ; on a de la marge.
Δ est donc bien positif, et l’équation admet deux racines

Si Δt > 0 on a deux racines de signes opposés ; seule la racine positive nous intéresse
X Δt = – T + (Δ)^1/2

Donc µ ΔZ_p Δt / T_std # – T + (Δ)^1/2 avec Δ = T² + 2 µ ΔZ Δt

ΔZ_p # [(T² + 2 µ ΔZ Δt)^1/2 – T] T_std / (µ Δt)

Remarque

Δ = T² [1 + (2 µ ΔZ Δt) / T²]

Si l’on considère le second terme entre crochets comme petit devant 1 (d’ailleurs il l’est, puisque pour ΔZ = 35 kft et Δt = – 25°C il est de l’ordre de – 2 x 2 x 35 x 25 / 260² = – 0,05) on peut écrire
(Δ)^1/2 # T [1 + (µ ΔZ Δt) / T²] = T + (µ ΔZ Δt) / T
µ ΔZ_p Δt / T_std # – T + T + (µ ΔZ Δt) / T
ΔZ_p / T_std # ΔZ / T

On retrouve la formule (M)

Si Δt <0 on a deux racines positives X₊ Δt = – T + (Δ)^1/2 et X_– Δt = – T – (Δ)^1/2

Le développement limité de Δ nous indique que

• l’ordre de grandeur de X₊ est donné par
  X₊ Δt # – T + T + (µ ΔZ Δt) / T soit X₊ # µ ΔZ / T
  et donc µ ΔZ_p / T_std # µ Z / T
• l’ordre de grandeur de X_– est donné par
  X_– Δt # – T – T soit X- # – 2 T / Δt
  et donc µ ΔZ_p / T_std # – 2 T / Δt [aberrant]

C’est bien, comme dans le cas où Δt > 0, la racine X₊ qu’il faut prendre.

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¹²Démonstration des formules (10)

Partons de la variante de la formule (3) :
(N4) ΔZ = ΔZ_p – (Δt / µ) ln[1 – (µ ΔZ_p / T_std)] avec T_std = T_std(Z_p)

Si Δt = 0 alors ΔZ_p = ΔZ

On suppose dans la suite que Δt est non nul.

De façon similaire à de ce que nous avons vu dans l’étude de la formule (M), effectuons le changement de variable
Z_M = Z_p + ΔZ_p / 2 ; avec « M » comme « milieu »

T_std(Z_M) = T_0std – µ Z_M = T_0std – µ (Z_p + ΔZ_p / 2) = T_std(Z_p) – µ ΔZ_p / 2 = T_std – µ ΔZ_p / 2
Donc T_std = T_std(Z_M) + µ ΔZ_p / 2
1 – (µ ΔZ_p / T_std) = (T_std – µ ΔZ_p) / T_std = [T_std(Z_M) + µ ΔZ_p / 2 – µ ΔZ_p] / [T_std(Z_M) + µ ΔZ_p / 2] 1 – (µ ΔZ_p / T_std) = {1 – (µ ΔZ_p) / [2 T_std(Z_M)]} / {1 + (µ ΔZ_p) / [2 T_std(Z_M)]}

L’équation (N4) s’écrit :
ΔZ = ΔZ_p + (Δt /µ) ln {{1 + (µ ΔZ_p) / [2 T_std(Z_M)]} / {1 – (µ ΔZ_p) / [2 T_std(Z_M)]}}

Posons X = (µ ΔZ_p) / [2 T_std(Z_M)]

On a alors µ ΔZ_p = 2 X T_std(Z_M) avec T_std(Z_M) = T_std(Z_p) – µ ΔZ_p / 2 = T_std – µ ΔZ_p / 2
Donc µ ΔZ_p = 2 X (T_std – µ ΔZ_p / 2)
µ ΔZ_p (1 + X) = 2 X T_std
ΔZ_p = 2 X T_std / [µ (1 + X)]

Et T_std(Z_M) = T_std – µ ΔZ_p / 2 = T_std – X T_std / (1 + X) = T_std / (1 + X)

L’équation devient :
µ ΔZ = 2 X T_std(Z_M) + Δt ln [(1 + X) / (1 – X)]

Le développement limité de ln [(1 + X) / (1 – X)] étant ln [(1 + X) / (1 – X)] # 2 X + 2 X³ / 3, on a quand X (et donc ΔZ_p) est « assez petit »
µ ΔZ # 2 X T_std(Z_M) + 2 Δt (X + X³ / 3)
µ ΔZ # 2 X T_std / (1 + X) + 2 Δt (X + X³ / 3)

X peut donc être approximé comme la racine de l’équation
3 µ ΔZ (1 + X) = 6 X T_std + 2 Δt (3 X + X³) (1 + X)
– 3 µ ΔZ – 3 µ ΔZ X + 6 X T_std + 2 Δt (3 X + X³) + 2 Δt (3 X² + X⁴) = 0
2 Δt X⁴ + 2 Δt X³ + 6 Δt X² + 3 (2 T_std + 2 Δt – µ ΔZ) X – 3 µ ΔZ = 0

Si Δt = 0 ; X = µ ΔZ / (2 T_std – µ ΔZ)
ΔZ_p = 2 X T_std / [µ (1 + X)] = 2 µ ΔZ T_std / [µ (2 T_std – µ ΔZ + µ ΔZ)] ΔZ_p = ΔZ ; c’est rassurant.

La résolution de cette équation fait un peu peur.
Mais on peut procéder par itérations ; sachant que X est petit, on peut écrire l’équation sous la forme
3 (2 T_std + 2 Δt – µ ΔZ) X = 3 µ ΔZ – 2 Δt X² (3 + X + X²)

• Posons K = 2 T_std + 2 Δt – µ ΔZ
• X_n+1 = µ ΔZ / K – 2 Δt X_n² (3 + X_n + X_n²) / (3 K)
  X₀ = 0 –> X₁ = µ ΔZ / K –> X₂ = µ ΔZ / K – 2 Δt X₁² (3 + X₁ + X₁²) / (3 K) –> etc.
• Après itérations, on calcule ΔZ_p = 2 X T_std / [µ (1 + X)]

Remarque : X₁ = µ ΔZ / K donne ΔZ_p = 2 X T_std / [µ (1 + X)] = 2 (µ ΔZ / K) T_std / [µ (1 + µ ΔZ / K)] ΔZ_p = 2 ΔZ T_std / (K + µ ΔZ) ; or K + µ ΔZ = 2 T_std + 2 Δt = 2 T
Donc ΔZ_p = ΔZ T_std / T ; c’est la formule (M)

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¹³Application numérique : évaluation des formules donnant ΔZ_p en fonction de ΔZ

Commençons par établir les données en procédant dans l’autre sens.

Soit un déplacement vertical de ΔZ_p = 15 kft à partir de Z_Q = 5 kft ; µ = 1,9812 ; T_0std = 288,15 K ; ou – 25°C

Le calcul exact avec la formule [équivalente à (3) et déjà utilisée dans d’autres notes] (N4) ΔZ = ΔZ_p – (Δt /µ) ln [1 – (µ ΔZ_p / T_std)] où T_std = T_std(Z_Q) donne

• T_std = T_std(Z_Q) = 288,15 – 1,9812 x 5 = 278,244 K
• Δt = + 25°C
  ΔZ = 25 – (25 / 1,9812) ln [1 – (1,9812 x 25 / 278,244)] = 27,4736 kft
• Δt = – 25°C
  ΔZ = 25 + (25 / 1,9812) ln [1 – (1,9812 x 25 / 278,244)] = 22,5264 kft

D’où les données : déplacement vertical de ΔZ = 27,4736 kft (Δt = + 25°C) ou 22,5264 kft (Δt = – 25°C) à partir de Z_Q = 5 kft ; T_std(Z_Q) = 288,15 – 1,9812 x 5 = 278,244 K

1 – Formule (M bis) ΔZ_p # ΔZ T_std / T

1.1 – T_std = T_std(Z_Q) = 278,244 K

• Δt = + 25°C ; T = T_std + Δt = 278,244 + 25 = 303,244 K
  ΔZ_p # 27,4736 x 278,244 / 303,244 = 25,209 kft
  (erreur de + 209 ft)
• Δt = – 25°C ; T = T_std + Δt = 278,244 – 25 = 253,244 K
  ΔZ_p # 22,5264 x 278,244 / 253,244 = 24,750 kft
  (erreur de – 250 ft)

1.2 – T_std estimé à mi-chemin [estimé à 5 + ΔZ / 2], T_std # 288 – 2 x (5 + ΔZ / 2) = 278 – ΔZ

• Δt = + 25°C ; T_std = 278 – 27 = 251 K ; T = T_std + Δt = 251 + 25 = 276 K
  ΔZ_p # 27,4736 x 251 / 276 = 24,985 kft
  (erreur de – 15 ft)
• Δt = – 25°C ; T_std = 278 – 23 = 255 K ; T = T_std + Δt = 255 – 25 = 230 K
  ΔZ_p # 22,5264 x 255 / 230 = 24,975 kft
  (erreur de – 25 ft)

1.3 – T_std pris à mi-chemin [5 + 25 / 2], T_std = 288,15 – 1,9812 x 17,5 = 253,479 K

• Δt = + 25°C ; T = T_std + Δt = 253,479 + 25 = 278,479 kft
  ΔZ_p # 27,4736 x 253,479 / 278,479 = 25,007 kft
  (erreur de + 7 ft)
• Δt = – 25°C ; T = T_std + Δt = 253,479 – 25 = 228,479 K
  ΔZ_p # 22,5264 x 253,479 / 228,479 = 24,991 kft
  (erreur de – 9 ft)

2 – Formule (9 bis) ΔZ_p # [(T² + 2 µ ΔZ Δt)^1/2 – T] T_std / (µ Δt)

Avec T_std = T_std(Z_Q) et T = T_std + Δt

• Δt = + 25°C ; T_std = 278,244 K ; T = T_std + Δt = 278,244 + 25 = 303,244 KΔZ_p = [(303,244² + 2 x 1,9812 x 27,4736 x 25)^1/2 – 303,244] 278,244 / (1,9812 x 25)ΔZ_p = 25,025 (+ 25 ft)

• Δt = – 25°C ; T_std = 278,244 K ; T = T_std + Δt = 278,244 – 25 = 253,244 KΔZ_p = [(253,244² – 2 x 1,9812 x 22,5264 x 25)^1/2 – 253,244] 278,244 / (1,9812 x – 25)ΔZ_p = 24,969 (- 31 ft)

3 – Formules (10 bis) – Calcul par itération

T_std = T_std(Z_Q) = 278,244 K

K = 2 T_std + 2 Δt – µ ΔZ
X = µ ΔZ / K – 2 Δt X² (3 + X + X²) / (3 K)

X₀ = 0 –> X₁ = µ ΔZ / K –> X₂ = µ ΔZ / K – 2 Δt X₁² (3 + X₁ + X₁²) / (3 K) –> etc.

ΔZ_p = 2 X T_std / [µ (1 + X)]

• Δt = + 25°C ; T_std = 278,244 K ; ΔZ = 27,4736 kft
  K = 2 x 278,244 + 2 x 25 – 1,9812 x 27,4736 = 552,0573
  X = 1,9812 x 27,4736 / 552,0573 – 2 x 25 X² (3 + X + X²) / (3 x 552,0573)
  X = 0,098 596 – 0,030 190 X² (3 + X + X²)
  Itérations : X₁ = 0,098 596 ; X₂ = 0,097 684 ; X₃ = X₄ = 0,097 701
  ΔZ_p = 2 x X x 278,244 / [1,9812 (1 + X)] X₁ -> 25,209 [idem formule (M)] ; X₂ -> 24,996 ; X₃ et X₄ -> 25,0001
  Le premier calcul (X₂) du polynôme est déjà à 4 ft près.
• Δt = – 25°C ; T_std = 278,244 K ; ΔZ = 22,5264 kft
  K = 2 x 278,244 – 2 x 25 – 1,9812 x 22,5264 = 461,8587
  X = 1,9812 x 22,5264 / 461,8587 + 2 x 25 X² (3 + X + X²) / (3 x 461,8587)
  X = 0,096 630 + 0,036 086 X² (3 + X + X²)
  Itérations : X₁ = 0,096 630 ; X₂ = 0,097 676 ; X₃ = 0,097 700 ; X₄ = X₅ = X₃
  ΔZ_p = 2 x X x 278,244 / [1,9812 (1 + X)] X₁ -> 24,750 [idem formule (M)] ; X₂ -> 24,994 ; X₃ -> 24,999 8 ; X₄ et X₅ -> 24,999 9
  calcul de X₂ limité à 3 : 24,986  (erreur 14 ft)
  calcul de X₂ limité à 3 + X : 24,994  (erreur 6 ft)
  calcul de X₂ complet 3 + X + X² : 24,994 (erreur 6 ft)

4 – Formules (11) – Calcul par itération

• Premier terme : Y₀ = ΔZ
• Termes suivants : Y_n+1 = ΔZ – (Δt / µ) ln[1 – Y_n / (Z₀ – Z_Q)]

Z_Q = 5 kft [valeur de départ]

• Δt = + 25°C ; ΔZ = 27,4736 kft
  Y₀ = 27,4736
  Y₁ = 27,4736 + (25 / 1,9812) ln{1 – Y₀ / [(288,15 /1,9812) – 5]}
  Y₂ = 27,4736 + (25 / 1,9812) ln{1 – Y₁ / [(288,15 /1,9812) – 5]}
  etc.
  Itérations : Y₁ = 24,726 70 ; Y₂ = 25,029 86 ; Y₃ = 24,996 76 ; Y₄ = 25,000 38 ; Y₅ = 24,999 98 ; Y₆ = 25,000 02
  Les erreurs successives sont de – 273 ft, + 30 ft, – 3 ft, + 0,4 ft.
  La troisième estimation à 3 ft près est déjà très correcte.

• Δt = – 25°C ; ΔZ = 22,5264 kft
  Y₀ = 22,5264
  Y₁ = 22,5264 – (25 / 1,9812) ln{1 – Y₀ / [(288,15 /1,9812) – 5]}
  Y₂ = 22,5264 – (25 / 1,9812) ln{1 – Y₁ / [(288,15 /1,9812) – 5]}
  etc.
  Itérations : Y₁ = 24,732 45 ; Y₂ = 24,970 77 ; Y₃ = 24,996 78 ; Y₄ = 24,999 63 ; Y₅ = 24,999 94 ; Y₆ = 24,999 97
  Les erreurs successives sont de – 268 ft, – 29 ft, – 3 ft, – 0,4 ft.
  La troisième estimation à 3 ft près est déjà très correcte.

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