Notes

Notes diverses  du chapitre modélisation

¹Vitesse
J’avais prévenu qu’il y aurait des renvois vers des notes…

La vitesse V utilisée ici est la vitesse vraie (en anglais TAS = true air speed).

Elle est en général différente de celle indiquée par le badin (IAS = indicated air speed).
Il y a à cela une raison majeure, qui réside dans le principe même de cet anémomètre : le badin mesure la différence entre la pression totale, fournie par le tube de Pitot, et la pression statique, fournie par les deux prises de pression statique situées de chaque côté du fuselage ; cette différence s’appelle pression dynamique et est égale à ρ V² / 2.
Pour afficher une vitesse Vaff, le badin doit « supposer » une valeur de ρ : c’est ρ = ρ₀ (conditions standards au niveau de la mer) qui a été choisi pour l’étalonner. S’il est soumis à la pression dynamique ρ V² / 2, il interprète donc cette pression dynamique comme ρ₀ Vaff² / 2 et affiche donc Vaff = V x racine (ρ / ρ₀).

A cette erreur d’interprétation de la pression dynamique (qui n’en est plus une dès lors qu’on peut en effectuer la correction), s’ajoutent les erreurs dues aux capteurs :

• la pression totale fournie par le tube de Pitot est entachée aux grandes vitesses de l’avion, d’une erreur liée à la compressibilité de l’air, et aux faibles vitesses, d’après certaines sources, d’une erreur liée à l’orientation du tube de Pitot par rapport au flux d’air,
• la pression statique fournie par la moyenne entre les deux prises statiques est également faussée à faible vitesse.

Pour passer de la vitesse IAS indiquée par le badin à la vitesse réelle TAS, il y a donc plusieurs corrections à apporter que l’on peut retenir par le mnémonique ICE-T (comme thé glacé) pour rappeler l’ordre des valeurs successives : I(AS) puis C(AS) puis E(AS) puis T(AS).

• L’IAS (indicated air speed) est comme on l’a vu la vitesse indiquée par le badin ;
• La CAS (calibrated air speed) est la vitesse corrigée selon les tables fournies par le manuel de vol, correction significative aux faibles vitesses et faible au-delà ; on parle alors de correction de la chaine anémométrique ;
• L’EAS (equivalent air speed) est la vitesse corrigée de l’erreur liée à la compressibilité ; elle est toujours inférieure à la CAS mais de moins de 2 kt en dessous de 10 000 ft et 200 kt ; cette correction est donc inutile dans le domaine de vol du DR400 ;
• La TAS (true air speed) est la vitesse vraie V calculée par V = EAS x racine (ρ₀ / ρ).

Dans le cas d’un avion léger comme le DR400, on pourra se limiter à deux corrections :

• IAS –> CAS : correction de la chaine anémométrique aux faibles vitesses ;
• CAS –> TAS # CAS x racine (ρ₀ / ρ).

La première correction peut apparaitre comme du pinaillage, mais est utile pour l’évaluation de la vitesse d’approche : 1,3 fois la vitesse de décrochage, ce n’est pas 1,3 fois la vitesse indiquée au décrochage mais 1,3 fois la vitesse corrigée.
Exemple : le manuel de vol donne au décrochage IAS = 43 kt et CAS = 50 kt. La bonne vitesse d’approche est CAS = 1,3 x 50 = 65 kt (le manuel de vol indique alors que IAS = CAS = 65 kt) et non 1,3 x 43 kt = 56 kt.

La deuxième correction est utile pour évaluer la vitesse sol (pour autant qu’on tienne compte de celle du vent…). Ainsi, au FL 75, ρ = 0,978 en conditions standards ; donc TAS # CAS x racine (ρ₀ / ρ) = CAS x racine (1,225 / 0,978) # 1,12 CAS (on retrouve le résultat de la règle classique qui donne + 1% par tranche de 600 ft, et donc ici 75 / 6 = 12,5 tranches).

Est-ce à dire qu’on doit utiliser la calculette en finale pour estimer la vitesse réelle d’approche ? La réponse est non, et heureusement pour la sécurité des passagers. Car les équations de la mécanique du vol montrent que les forces en présence sont fonction de ρ V², et donc pas de la vitesse vraie V = TAS, mais de l’EAS, quasiment identique à la CAS (correction de compressibilité négligeable) elle même pratiquement égale à l’IAS (vitesse indiquée) tant que l’avion est significativement au-dessus de la vitesse de décrochage.

Retour au document

²Angles en degrés : attention, piégeant !

Le choix entre degrés et radians est une question de convention, généralement sans conséquence autre que l’apparition ici ou là de la constante multiplicative k = π / 180.

Mais ce coefficient k ne doit surtout pas être oublié dans les calculs trigonométriques portant sur des angles en degrés.

Soient ω et Ω les mesures respectivement en degrés et en radians d’un même angle. On a Ω = k ω.
Si j’ai choisi d’exprimer tous les angles en degrés, il me sera commode d’écrire par exemple y = sin(ω) avec ω en degrés, de même qu’on dit « sin 30° » ; mais attention, c’est un abus de langage. Car les fonctions trigonométriques étant définies pour des arguments en radians, quand j’écris « y = sin(ω) » avec ω en degrés, je veux dire en fait y = sin(Ω) = sin(k ω).

Donc, attention par exemple, à ne pas écrire par réflexe d[sin(ω)]/dω = cos(ω). Car il s’agit en fait de d[sin(k ω)]/dω = k cos(k ω).

Toujours par abus de langage, on écrira d[sin(ω)]/dω = k cos(ω) en omettant k dans les arguments des fonctions trigonométriques.

Retour au document

³Choix de A_réf et dénomination des angles

Il y a, pour le choix de A_réf, différentes écoles, et de plus la dénomination des angles diffère selon les sources : ce que les Etats-Unis appellent respectivement « incidence » (K) et « angle d’attaque » (α) est appelé en France « angle de calage » (d’où mon choix de K comme kalage) et « incidence ». On devine dès lors les confusions possibles, en particulier une ambiguïté totale sur le terme « incidence ».

La dénomination française d’angle de calage est commode quand A_réf correspond à la direct ion de la corde de profil, dans le cas très particulier où celà a un sens, comme nous l’avons vu. Car elle évoque bien alors la rotation que l’on a fait subir à l’aile par rapport à l’axe du fuselage. Mais du même coup, elle évoque tellement cet aspect géométrique qu’elle introduit une confusion dans tous les autres cas (aile vrillée, choix différent de A_réf) ou simplement quand on étudie l’aile équivalente, dont le calage est différent de celui de l’aile seule.

N’étant pas expert, je ne me permets pas d’avoir une opinion tranchée ; l’essentiel, puisqu’il peut y avoir confusion, me parait être d’expliciter les notations. Dans la suite, j’ai prudemment choisi d’appeler les angles uniquement par leurs symboles « K » et « α ». Néanmoins, j’aime bien le terme français « incidence » pour désigner α. Il me parait plus intuitif qu' »angle d’attaque relatif » !

Retour au document

⁴Influence de la gouverne de profondeur sur la portance de l’avion

Chacun des objets que nous étudions (modèle, aile, et gouverne) est défini par ses propres paramètres S, a, b, c, K qui, en fonction de α déterminent Cz et Cx et donc Rz = (1/2) ρ S Cz V² et Rx = (1/2) ρ S Cx V².

Nous ferons l’hypothèse que ρ et V sont à tout instant identiques pour les trois objets, et que la direction du vent relatif est uniforme. Si c’est assez évident pour l’aile et le modèle à aile unique, ça l’est moins pour la gouverne de profondeur, surtout en ce qui concerne la direction du vent relatif.

Mais il ne s’agit pas de construire un avion, seulement de préciser des ordres de grandeur pour comprendre son fonctionnement.

Supposons que l’aile et la gouverne de profondeur aient des surfaces respectives S_a et S_g et des portances respectives (1/2) ρ S_a Cz_a V² et (1/2) ρ S_g Cz_g V².

Compte tenu du sens opposé de ces deux portances, la portance résultante s’écrit :
(1/2) ρ S Cz V² = (1/2) ρ S_a Cz_a V² – (1/2) ρ S_g Cz_g V²
On a donc en simplifiant par (1/2) ρ V²
S Cz = S_a Cz_a – S_g Cz_g

Par rapport au centre de gravité, l’égalité des moments des forces en présence s’écrit [en simplifiant encore par (1/2) ρ V²] S_a Cz_a d_a = S_g Cz_g d_g si l’on désigne par d_a et d_g les distances entre le centre de gravité et les points d’application des portances de l’aile et de la gouverne de profondeur.

La dernière équation S_a Cz_a d_a = S_g Cz_g d_g s’écrit de deux façons intéressantes :

• Cz_g = (S_a / S_g) (d_a / d_g) Cz_a
  Dans le cas du DR 400, Cz_g = 4,93 x (0,05 / 3,72) Cz_a = 0,066 Cz_a
  Si on pose Cz_g = a_g α_g, on voit que même si le paramètre a_g de la gouverne est, du fait de son profil, un peu plus faible que le paramètre a_a de l’aile, l’angle α_g de la gouverne est beaucoup plus faible que celui de l’aile α_a.
• S_g Cz_g = S_a Cz_a (d_a / d_g)
  En reportant dans l’expression S Cz = S_a Cz_a – S_g Cz_g on obtient
  S Cz = S_a Cz_a [1 – (d_a / d_g)].
  Application numérique dans le cas du DR 400 : 1 – (d_a / d_g) = 1 – (0,05 / 3,72) = 0,987

Retour au document

⁵Corde moyenne

On peut faire plus compliqué, à savoir définir une « corde aérodynamique moyenne » représentative de l’ensemble de l’aile, sur laquelle s’applique la résultante des forces de pression et de frottement.
Si c(y) est la longueur de la corde située à une distance y (y = 0 à E/2) de l’axe de symétrie de l’aile, la longueur de la corde moyenne est alors donnée dans la littérature par l’intégrale :
Cmoy = (2/S) x somme de 0 à E/2 de c²(y) dy.
Sa distance à l’axe de symétrie de l’aile est donnée par une formule sur laquelle je n’ai pas encore mis la main, mais sûrement du même tonneau vus les résultats non intuitifs dès lors que l’aile n’est pas rectangulaire…

Retour au document

⁶Equation dans le cas de la descente, moteur réduit, sur une pente constante d’angle γ

On se propose d’exploiter les équations :
(9) – m dV/dt = (1/2) ρ S Cx V² + m g sin γ
(10) (1/2) ρ S Cz V² = m g cos γ
dans le cas particulier (en fait assez général…) où |α| reste inférieur ou égal à α_d – 2.
On a alors Cz = a α

L’équation (10) donne
Cz = 2 m g cos γ / (ρ S V²)
d’où α = Cz / a = 2 m g cos γ / (a ρ S V²)
et enfin Cx = b + c α²
Cx = b + c [2 m g cos γ / (a ρ S V²)]².

De la dernière expression on déduit :
ρ S Cx V² / (2 m) = b [ρ S V² / (2 m)] + [2 c m g² cos² γ / (a² ρ S V²)]

(9) – m dV/dt = (1/2) ρ S Cx V² + m g sin γ
donne dV/dt = – ρ S Cx V² / (2 m) – g sin γ
qui s’écrit (15) dV/dt = M – L V² – N / V²
ou encore (16) V² dV/dt = – L V⁴ + M V² – N
avec

• L = b [ρ S / (2 m)]
• M = – g sin γ
• N = (c g² / a²) [2 m / (ρ S)] cos² γ

Retour au document

⁷Changement de variable v = V / Vs

(16) V² dV/dt = – L V⁴ + M V² – N

avec

• L = b [ρ S / (2 m)]
• M = – g sin γ
• N = (c g² / a²) [2 m / (ρ S)] cos² γ

On a vu de plus [équation (11)] que Vs² = 2 m g / [a ρ S (α_d – 1)]

Le changement de variable v = V / Vs donne :
Vⁿ = Vsⁿ vⁿ
et dV = Vs dv
– L V⁴ + M V² – N = – L Vs⁴ v⁴ + M Vs² v² – N = – Vs⁴ [L v⁴ – (M / Vs²) v² + N / Vs⁴].

Or

• L = [ρ S / (2 m)] A
  avec A = b
• M / Vs² = – g sin γ [a ρ S (α_d – 1)] / (2 m g)
  = [ρ S / (2 m)] (- a sin γ) (α_d – 1) = [ρ S / (2 m)] B
  avec B = – a (α_d – 1) sin γ
• N / Vs⁴ = {(c g² / a²) cos² γ [2 m / (ρ S)]} [a ρ S (α_d – 1)]² / (2 m g)²
  = [ρ S / (2 m)] [c (α_d – 1)² cos² γ] = [ρ S / (2 m)] C
  avec C = c (α_d – 1)² cos² γ

Donc – L V⁴ + M V² – N = – Vs⁴ [L v⁴ – (M / Vs²) v² + N / Vs⁴] = – Vs⁴ [ρ S / (2 m)] (A v⁴ – B v² + C)

On peut donc écrire l’équation (16) V² dV/dt = – L V⁴ + M V² – N sous la forme équivalente
Vs³ v² dv/dt = – Vs⁴ [ρ S / (2 m)] (A v⁴ – B v² + C)
v² dv/dt = – Vs [ρ S / (2 m)] (A v⁴ – B v² + C)
(17) v² dv/dt = – J (A v⁴ – B v² + C) où J = Vs [ρ S / (2 m)] J = {2 m g / [a ρ S (α_d – 1)]}^1/2 [ρ S / (2 m)] = {ρ S g / [2 m a (α_d – 1)]}^1/2
avec

• A = b
• B = – a (α_d – 1) sin γ
• C = c (α_d – 1)² cos² γ

Retour au document

⁸Etude de Δ = B² – 4 AC

Δ = B² – 4 AC

avec

• A = b
• B = – a (α_d – 1) sin γ
• C = c (α_d – 1)² cos² γ

Δ = (α_d – 1)² (a² sin² γ – 4 b c cos² γ)
Δ = a² (α_d – 1)² cos² γ (tg² γ – 4 b c / a²).

Or 4 b c / a² = tg² γ_f.
Donc Δ = a² (α_d – 1)² cos² γ (tg² γ – tg² γ_f).

γ et γ_f étant négatifs en descente, il est intéressant de faire apparaitre leurs opposés qui sont des angles de « pente de descente » comptés positivement.
On peut donc écrire
Δ = a² (α_d – 1)² cos² γ [(tg(- γ) + tg(- γ_f)] [(tg(- γ) – tg(- γ_f)].

Pour les pentes négatives le signe de Δ est donc celui de tg(- γ) – tg(- γ_f), c’est-à-dire celui de (- γ) – (- γ_f)

Retour au document

⁹Calcul de d en fonction de v : intégration de l’équation (19)

Il s’agit d’intégrer (19) [ρ S / (2 m)] dd = – v³ dv / (A v⁴ – B v² + C)

avec

• A = b
• B = – a (α_d – 1) sin γ
• C = c (α_d – 1)² cos² γ

en cherchant une solution sous la forme (ρ S / 2m) d = g (v) + Cte.

Cette intégration implique l’étude de trois cas selon le signe de Δ = B² – 4 AC qui est aussi celui de (- γ) – (- γ_f).

Si (- γ) < (- γ_f) et donc Δ < 0

Cherchons à factoriser A v⁴ – B v² + C sous la forme :
A v⁴ – B v² + C = A (v⁴ – B/A v² + C/A) = A (v² + p v + q) (v² – p v + q)
On vérifie en effet que (v² + p v + q) (v² – p v + q) = v⁴ + (2 q – p²) v² + q² = v⁴ – B/A v² + C/A
avec q = (C / A)^1/2 = (c / b)^1/2 (α_d – 1) cos γ
et 2 q – p² = – B/A soit p² = B/A + 2 q = [B + 2 (AC)^1/2] / A ; p = {[B + 2 (AC)^1/2] / A}^1/2.

On peut alors écrire
A v³ / (A v⁴ – B v² + C) = v³ / [(v² + p v + q) (v² – p v + q)] = (α v + β) / (v² + p v + q) + (γ v + δ) / (v² – p v + q)

Par identification, on trouve α = γ = 1/2 et β = – δ = q / 2p
Donc – 2 A dg(v) = [(v + q/p) / (v² + p v + q) + (v – q/p) / (v² – p v + q)] dv

Une primitive de (Rv + S) / (v² + p v + q) est
(R/2) ln (v² + p v + q) + (S – Rp/2) (q – p²/4)^-1/2 arc tg [(v + p/2) (q – p²/4)^-1/2] (facile à vérifier, mais merci quand même à mon formulaire !)

Donc – 2 A g(v) = (1/2) ln(v² + p v + q) + (q/p – p/2) (q – p²/4)^-1/2 arc tg [(v + p/2) (q – p²/4)^-1/2] + (1/2) ln(v² – p v + q) + (-q/p +p/2) (q – p²/4)^-1/2 arc tg [(v – p/2) (q – p²/4)^-1/2] 4 A g(v) = ln{1 / [(v² + p v + q) (v² – p v + q)]} + (p – 2 q / p) (q – p²/4)^-1/2 {arc tg [(v + p/2) (q – p²/4)^-1/2] – arc tg [(v – p/2) (q – p²/4)^-1/2]}

Cette dernière expression épouvantable peut se simplifier :
(v² + p v + q) (v² – p v + q) peut être remplacé par A v⁴ – B v² + C puisque la constante multiplicative A n’importe pas dans la fonction logarithme
(p – 2 q / p) (q – p²/4)^-1/2 = 2 B / [4 AC – B²]^1/2 = 2 B / (-Δ)^1/2 (calcul facile mais un peu long)

Donc 4 A g(v) = ln[1 / (A v⁴ – B v² + C)] + [2 B / (-Δ)^1/2]{arc tg [(v + p/2) (q – p²/4)^-1/2] – arc tg [(v – p/2) (q – p²/4)^-1/2]}

Si γ = γ_f et donc Δ = 0

X_d = B / (2A) est alors la racine double de A X² – B X + C = 0.
Posons v_d = X_d^1/2.
On a vu que v_d = v_f
A v⁴ – B v² + C = A (v² – v_f²)² = A (v + v_f)² (v – v_f)²

On peut alors écrire
A v³ / (A v⁴ – B v² + C) = v³ / [(v + v_f)² (v – v_f)²] = α / (v + v_f) + β / (v + v_f)² + γ / (v – v_f) + δ / (v – v_f)²
v³ = α (v + v_f) (v – v_f)² + β (v – v_f)² + γ (v + v_f)² (v – v_f) + δ (v + v_f)²

Par identification, on trouve α = γ = 1/2 et β = – δ = – v_f / 4

Donc – 4 A dg(v) = [2 / (v + v_f) – v_f / (v + v_f)² + 2 / (v – v_f) + v_f / (v – v_f)²] dv
– 4 A g(v) = 2 ln [(v + v_f) (v – v_f)] + v_f [1 / (v + v_f) – 1 / (v – v_f)] 4 A g(v) = ln {1 / [(v + v_f)² (v – v_f)²]} + v_f [1 / (v – v_f) – 1 / (v + v_f)]

(v² – v_f²)² peut être remplacé par A v⁴ – B v² + C puisque la constante multiplicative A n’importe pas dans la fonction logarithme ; le deuxième terme ne gagne pas en lisibilité si on le remplace par son expression en fonction de A, B et C.

Donc 4 A g(v) = ln[1 / (A v⁴ – B v² + C)] + v_f [1 / (v – v_f) – 1 / (v + v_f)]

Si (- γ) > (- γ_f) et donc Δ > 0

Posons v₁ = [(B – Δ^1/2) / (2A)]^1/2 et v₂ = [(B + Δ^1/2) / (2A)]^1/2 (X₁ = v₁² et X₂ = v₂² étant les deux racines réelles (positives) de A X² – B X + C = 0)
A v⁴ – B v² + C = A (v² – v₁²) (v² – v₂²) = A (v + v₁) (v + v₂) (v – v₁) (v – v₂)

On peut alors écrire
A v³ / (A v⁴ – B v² + C) = v³ / [(v + v₁) (v + v₂) (v – v₁) (v – v₂)] = α / (v + v₁) + β / (v + v₂) + γ / (v – v₁) + δ / (v – v₂)
v³ = α (v – v₁) (v² – v₂²) + β (v² – v₁²) (v – v₂) + γ (v + v₁) (v² – v₂²) + δ (v² – v₁²) (v + v₂)

Par identification, on trouve α = γ = – v₁² / [2 (v₂² – v₁²)] et β = δ = v₂² / [2 (v₂² – v₁²)]

Donc – 2 (v₂² – v₁²) A dg(v) = [- v₁² / (v + v₁) + v₂² / (v + v₂) – v₁² / (v – v₁) + v₂² / (v – v₂)] dv
2 (v₂² – v₁²) A dg(v) = [v₁² / (v + v₁) – v₂² / (v + v₂) + v₁² / (v – v₁) – v₂² / (v – v₂)] dv
2 (v₂² – v₁²) A g(v) = v₁² ln [(v + v₁) (v – v₁)] – v₂² ln [(v + v₂) (v – v₂)]

Retour au document

¹⁰Performances en palier

On part des 3 équations :

(20) T = (1/2) ρ S Cx Vc²
(21) α = 2 m g / (ρ S a Vc²)
(22) T = Qh P / n + Uh ρ Vc²

avec, de plus, Cx = b + c α².

Chaque ligne du tableau des performances en palier fournit n, P / P₀, ρ, m, Vc.
Il reste à déterminer les variables indépendantes suivantes :

• a S : permet de calculer α par l’équation (21)
• b S et c S : permettent de calculer Cx S = b S + c S α², puis de calculer T par l’équation (20)
• Qh (resp. Uh) : permet de calculer Uh (resp. Qh) par l’équation (22).

Il reste à vérifier que la valeur trouvée pour Uh (resp. Qh) pour chaque ligne du tableau des performances en palier est bien constante. Ou à l’obtenir en ajustant les variables listées ci-dessus.

On obtient facilement une expression analytique de Vc.

Avec Cx = b + c α² et en posant T0 = Qh P / n, les équations (20) et (22) donnent
(1/2) ρ S (b + c α²) Vc² = T0 + Uh ρ Vc²
En posant X = Vc², on a
ρ S (b + c α²) X = 2 T0 + 2 Uh ρ X
2 T0 + (2 Uh – S b) ρ X – ρ S c α² X = 0.
Or l’équation (21) s’écrit α = 2 m g / (ρ S a X).
Donc 2 T0 + (2 Uh – S b) ρ X – 4 ρ S c X m² g² / (ρ S a X)² = 0
(2 Uh – S b) ρ X² + 2 T0 X – 4 c m² g² / (ρ S a²) = 0

En posant M = ρ (2 Uh – S b) et N = 4 c m² g² / (ρ S a²), on obtient :
M X² + 2 T0 X – N = 0.
On note que Qh étant positif, T0 = Qh Φ(σ) P₀ / n₀ est positif (et heureusement, car sinon l’avion reculerait au moment de la mise des gaz…) ; on note aussi que Uh étant négatif, M est négatif ; et que N est positif.

Soit Δ = 4 T0² + 4 M N.
Le signe de Δ n’est pas évident puisque M N est négatif ; il conviendra donc de vérifier qu’il est bien positif, même si l’existence d’une vitesse de croisière Vc ne laisse aucun doute là dessus.
En supposant Δ > 0, les racines sont
X₁ = [- T0 – (Δ / 4)^1/2] / M et X₂ = [- T0 + (Δ / 4)^1/2] / M ;
T0 étant positif et M étant négatif, la racine X₁ est positive ; par ailleurs, N étant positif, X₁ X₂ = – N / M est positif : la racine X₂ est également positive. Seule la plus élevée X₁ nous intéresse.

On en déduit (23) Vc² = X₁ = [- T0 – (Δ / 4)^1/2] / M.

Retour au document

¹¹Etude de la vitesse VX de montée à pente maximum – dγ/dV = 0

On part des équations :

(12) m dV/dt = T – (1/2) ρ S Cx V² – m g sin γ
(10) (1/2) ρ S Cz V² = m g cos γ

avec T = T0 + Uh ρ V² où T0 = Qh Φ(σ) P₀ / n₀.

On cherche quelle valeur de V donne dγ/dV = 0.

Avec dV/dt = 0 puisque la vitesse V est supposée constante, l’équation (12) s’écrit
m g sin γ = T – (1/2) ρ S Cx V².
En dérivant par rapport à V, on a en posant k = π / 180 :
k m g cos γ dγ/dV = dT/dV – (1/2) ρ S V² dCx/dV – ρ S Cx V.

Or on a

• T = T0 + Uh ρ V², et donc dT/dV = 2 Uh ρ V
• dγ/dV = 0 par définition de VX.

Donc 2 Uh ρ V – (1/2) ρ S V² dCx/dV – ρ S Cx V = 0
2 Uh – (1/2) S V dCx/dV – S Cx = 0.

Il nous reste à exploiter l’équation (10), en notant que Cz = a α
(1/2) ρ S a α V² = m g cos γ.

En dérivant par rapport à V en tenant compte de dγ/dV = 0, on peut écrire directement :
(1/2) ρ S a dα/dV V² + ρ S a α V = 0
(1/2) dα/dV V + α = 0.

En synthèse, on a les deux équations :

(A) T – (1/2) ρ S Cx V² = m g sin γ
(B) (1/2) ρ S a α V² = m g cos γ

et les équations dérivées

(C) 2 Uh – (1/2) S V dCx/dV – S Cx = 0
(D) (1/2) dα/dV V + α = 0.

Avec de plus

Cx = b + c α², et donc dCx/dV = 2 c α dα/dV
et T = T0 + Uh ρ V².

On tire de (B)
α = 2 m g cos γ / (a ρ S V²)
α² = 4 m² g² cos² γ / (a² ρ² S² V⁴).

On tire de (D)
dα/dV = – 2 α / V.
Donc dCx/dV = 2 c α dα/dV = – 4 c α² / V

(C) 2 Uh – (1/2) S V dCx/dV – S Cx = 0 donne
2 Uh – (1/2) S V [- 4 c α² / V] – S [b + c α²] = 0
2 Uh – S b + S c α² = 0.
S b – 2 Uh = S c α².

Or α² = 4 m² g² cos² γ / (a² ρ² S² V⁴).
Donc S b – 2 Uh = 4 c m² g² cos² γ / (a² ρ² S V⁴)
V⁴ = 4 c m² g² cos² γ / [(S b – 2 Uh) (a² ρ² S)].

Uh étant négatif, le membre de droite est bien positif.

En posant E² = c / [a² S (S b – 2 Uh)], on a
ρV² = 2 E m g cos γ.

Il nous reste à exploiter (A) T – (1/2) ρ S Cx V² = m g sin γ
Avec T = T0 + Uh ρ V² et Cx = b + c α², on a
T0 + Uh ρ V² – (1/2) ρ S (b + c α²) V² = m g sin γ
T0 – (S b – 2 Uh) ρ V² / 2 – (1/2) ρ S c α² V² = m g sin γ
Or ρ S c α² V² = 4 c m² g² cos² γ / (a² ρ S V²)
Donc T0 – (S b – 2 Uh) ρ V² / 2 – 2 c m² g² cos² γ / (a² ρ S V²) = m g sin γ
Avec ρV² = 2 E m g cos γ, on obtient
T0 – (S b – 2 Uh) E m g cos γ – c m² g² cos² γ / (a² S E m g cos γ) = m g sin γ
T0 – (S b – 2 Uh) E m g cos γ – c m g cos γ / (a² S E) = m g sin γ
T0 / mg – [(S b – 2 Uh) E + c / (a² S E)] cos γ = sin γ
T0 / mg – F cos γ = sin γ
avec F = [(S b – 2 Uh) E + c / (a² S E)]

F² = (S b – 2 Uh)² E² + c² / (a⁴ S² E²) + 2 c (S b – 2 Uh) / (a² S)
F² = c (S b – 2 Uh) / (a² S) + c (S b – 2 Uh) / (a² S) + 2 c (S b – 2 Uh) / (a² S)
F² = 4 c (S b – 2 Uh) / (a² S).
On note que E² F² = 4 c² / (a⁴ S²)
et donc F = 2 c / (a² S E).

On peut maintenant calculer X = sin γ.
Puisque T0 / mg – F cos γ = sin γ
on a X = T0 / mg – F (1 – X²)^1/2.
On pourrait résoudre l’équation du second degré, mais il est plus astucieux de procéder par itérations : on peut calculer une bonne valeur approchée de X par X₀ = T0 / mg – F, une meilleure par X₁ = T0 / mg – F (1 – T₀²)^1/2, et ainsi de suite bien que X₁ suffise largement.
Une application numérique avec le DR400/140 donne γ = 8,6° et VX = 131,1 km/h par le calcul de X₀ ; l’évaluation de X₁ donne γ = 8,7° et VX inchangé ; les itérations suivantes n’apportent rien de plus.

Conclusion

En posant E² = c / [a² S (S b – 2 Uh)] et F = 2 c / (a² S E)
on peut calculer

• sin γ = X₀ = T0 / mg – F
  ou mieux, par itérations successives (une itération suffit !) sin γ = X_n = T0 / mg – F (1 – X_n-1²)^1/2
• et VX par VX² = 2 E m g cos γ / ρ.

Si on n’a pas besoin de calculer γ, VX² # 2 E m g / ρ suffit ; dans l’application numérique qui a conduit à VX = 131,1 km/h, le calcul avec cette formule approchée donne VX = 131,8 km/h.

Retour au document

¹²Etude de la vitesse VY de montée à taux maximum – dVZ/dγ = 0

On part des équations :

(12) m dV/dt = T – (1/2) ρ S Cx V² – m g sin γ
(10) (1/2) ρ S Cz V² = m g cos γ

avec T = T0 + Uh ρ V² où T0 = Qh Φ(σ) P₀ / n₀.

On cherche quelle valeur de V donne dVZ/dγ = 0, sachant que VZ = V sin γ.

Avec dV/dt = 0 puisque la vitesse V est supposée constante, l’équation (12) s’écrit
m g sin γ = T – (1/2) ρ S Cx V².
Donc, en multipliant par V et en tenant compte de l’expression T = T0 + Uh ρ V², on a
mg VZ = T0 V + Uh ρ V³ – (1/2) ρ S Cx V³
et donc mg VZ = T0 V + (1/2) ρ V³ (2 Uh – S Cx).
On en déduit que dVZ/dγ = 0 équivaut à
T0 dV/dγ + (3/2) ρ V² (2 Uh – S Cx) dV/dγ – (1/2) ρ V³ S dCx/dγ = 0.

Comme Cx = b + c α², on a dCx/dγ = 2 c α dα/dγ.
Or nous pouvons trouver α grâce à l’équation (10), qui s’écrit, avec Cz = a α
(1/2) ρ S a α V² = m g cos γ.

Admettons que m g cos γ # m g.
L’équation (10) devient
(1/2) ρ S a α V² = m g
ρ S a α = 2 m g / V²
ρ² S² a² α² = 4 m² g² / V⁴.

On a alors par dérivation
2 ρ² S² a² α dα/dγ = – 16 m² g² dV/dγ / V⁵.

Dans l’équation T0 dV/dγ + (3/2) ρ V² (2 Uh – S Cx) dV/dγ – (1/2) ρ V³ S dCx/dγ = 0, on peut maintenant calculer le terme
– (1/2) ρ V³ S dCx/dγ = – ρ S c V³ α dα/dγ = 8 c m² g² dV/dγ / [ρ S a² V²].
Par ailleurs, le terme (3/2) ρ V² (2 Uh – S Cx) s’écrit
(3/2) ρ V² (2 Uh – S Cx) = (3/2) ρ V² [2 Uh – S (b + c α²)] = (3/2) ρ V² (2 Uh – S b) – (3/2) ρ V² S c α² = (3/2) ρ V² (2 Uh – S b) – 6 c m² g² / [a² ρ S V²].

On remarque que dVZ/dγ = 0 implique, puisque VZ = V sin γ, dV/dγ sin γ + V cos γ = 0 ; donc dV/dγ = – V / tg γ est non nul.
En posant X = V², l’équation complète équivaut donc à
T0 + (3/2) ρ X (2 Uh – S b) – 6 c m² g² / [a² ρ S X] + 8 c m² g² / [ρ S a² X] = 0.

Avec les constantes M = ρ (2 Uh – b S) et N = 4 c m² g² / [a² ρ S] que nous avons déjà vues dans l’étude de la vitesse de croisière Vc, l’équation devient :
2 T0 + 3 M X + N / X = 0 ou 3 M X² + 2 T0 X + N = 0.
On sait que Qh étant positif, T0 = Qh Φ(σ) P₀ / n₀ est positif ; on sait aussi que Uh est négatif, et donc que M est négatif ; enfin, N est positif.

Les solutions de 3 M X² + 2 T0 X + N = 0 sont données par le calcul de Δ’ = 4 (T0² – 3 M N) avec
3 M N = 12 (2 Uh – b S) c m² g² / (a² S).

M N est négatif, donc Δ’ est toujours positif ; le contraire serait surprenant car s’il n’y avait pas de vitesse de montée à VZ max, ça se saurait.
Les racines sont donc X₁ = [- T0 – (Δ’ / 4)^1/2] / (3 M) et X₂ = [- T0 + (Δ’ / 4)^1/2] / (3 M) ;
T0 étant positif et M étant négatif, la racine X₁ est positive ; par ailleurs, N étant positif, X₁ X₂ = N / (3 M) est négatif : les racines sont de signes contraires, et la racine X₂ qui est donc négative ne convient pas.

On en déduit VY² = X₁ = [- T0 – (Δ’ / 4)^1/2] / (3 M).

Il est aussi intéressant de calculer
α = 2 m g / (a ρ S VY²) = 2 m g / (a ρ S X₁)
d’où Cx = b + c α² et donc
VZ = [T0 VY + (1/2) ρ VY³ (2 Uh – S Cx)] / (m g)
et enfin γ = arc sin(VZ / V).

Retour au document

¹³Relation entre VX, VY et Vc à puissance max

On part des équations

VX² = 2 E m g / ρ avec E² = c / [a² S (S b – 2 Uh)] Vc² = [- T0 – (Δ / 4)^1/2] / M avec M = ρ (2 Uh – b S), N = 4 c m² g² / [a² ρ S] et Δ / 4 = T0² + M N
VY² = [- T0 – (Δ’ / 4)^1/2] / (3 M) avec Δ’ / 4 = T0² – 3 M N

sachant que X = Vc² est solution de M X² + 2 T0 X – N = 0 et que Y = VY² est solution de 3 M Y² + 2 T0 Y + N = 0.

Des deux dernières équations on tire, en divisant la première par – M X et la deuxième par M Y, puis en additionnant
– X – 2 T0 / M + N / (M X) + 3 Y + 2 T0 / M + N / (M Y) = 0
3 Y – X + (N / M) (1 / X + 1 / Y) = 0
(3 Y – X) / (X^-1 + Y^-1) = – N / M.

Or – N / M = 4 c m² g² / [a² ρ² S (b S – 2 Uh)].
Sachant que VX⁴ = 4 E² m² g² / ρ² = 4 c m² g² / [a² ρ² S (S b – 2 Uh)] on a – N / M = VX⁴.

Avec X = Vc² et Y = VY², on obtient :
(27) VX⁴ = (3 VY² – Vc²) / (Vc^-2 + VY^-2).

Retour au document

¹⁴Etude de l’arrondi à l’atterrissage

Il s’agit d’exploiter les équations :

(9) – m dV/dt = (1/2) ρ S Cx V² + m g sin γ
(26) m V² / R = (1/2) ρ S Cz V² – m g cos γ

auxquelles s’ajoutent :

• (1) θ + K = γ + α
• Cx = b + c α²
• et, si |α| inférieur ou égal à α_d – 2 : Cz = a α.

Les conditions initiales sont γ = γ_D et V = V_D,
et les conditions finales γ = γ_F = 0 et V = V_F.

Du fait du mouvement circulaire, on a V = (R k) dγ/dt où k = π / 180 avec γ en degrés.
On peut considérer V comme fonction de γ, avec γ fonction de t ; donc on peut écrire :
dV/dt = dV/dγ dγ/dt = dV/dγ V / (R k)

Posons v = V / Vs avec Vs² = 2 m g / [a ρ S (α_d – 1)]

V = v Vs implique V² = v² Vs², dV/dt = Vs dv/dt et dV/dγ = Vs dv/dγ.
De dV/dt = dV/dγ V / (R k), on tire :
dV/dt = Vs dv/dγ v Vs / (R k) = [Vs² / (R k)] v dv/dγ

Avec ce changement de variable, les équations (9) et (26) deviennent :

• – m [Vs² / (R k)] v dv/dγ = (1/2) ρ S Cx v² Vs² + m g sin γ
  – [m / (R k)] v dv/dγ = (1/2) ρ S Cx v² + m g sin γ / Vs²
  – [m / (R k)] v dv/dγ = (1/2) ρ S [Cx v² + a (α_d – 1) sin γ]

• m v² Vs² / R = (1/2) ρ S Cz v² Vs² – m g cos γ
  (1/2) ρ S Cz v² = m v² / R + m g cos γ / Vs²
  (1/2) ρ S Cz v² = m v² / R + (1/2) a ρ S (α_d – 1) cos γ

Recherche d’une expression analytique

Puisque Cz = a α, on peut tirer α de la deuxième équation, et reporter l’expression ainsi obtenue dans Cx = b + c α² ; en reportant ensuite Cx dans la première équation, on obtiendra une équation différentielle.

(1/2) ρ S a α v² = m v² / R + (1/2) a ρ S (α_d – 1) cos γ
α = 2 m / (ρ S a R) + (α_d – 1) cos γ / v²

Cx = b + c α² donne
Cx = b + 4 c m² / (ρ S a R)² + 4 c m (α_d – 1) cos γ / [(ρ S a R) v²] + c (α_d – 1)² cos² γ / v⁴.

En reportant cette expression de Cx dans la première équation que l’on peut écrire
– [2 m / (ρ S R k)] v dv/dγ = Cx v² + a (α_d – 1) sin γ
on obtient une expression de la forme
(27) – A v dv/dγ = B v² + C + D / v²
avec

A = 2 m / (ρ S R k)
B = b + 4 c m² / (ρ S a R)²
C = 4 c m (α_d – 1) cos γ / (ρ S a R) + a (α_d – 1) sin γ
D = c (α_d – 1)² cos² γ

Dans le contexte de la présente note, il n’y a aucun risque de confusion avec des notations antérieures, mais pour la suite, nous remplacerons A, B, C et D par A’, B’, C’ et D’.

Posons X = v² ; on peut écrire, puisque dX/dγ = 2 v dv/dγ
– (A/2) dX/dγ = B X + C + D / X
– (A/2) X dX/dγ = B X² + C X + D
Le problème est que C et D étant des fonctions de γ, on ne peut pas séparer les variables en écrivant
– (A/2) X dX / (B X² + C X + D) = dγ
Il serait mathématiquement faux, mais physiquement convaincant, de considérer que cos γ # 1, mais malheureusement il reste le terme en sin γ dans l’expression de C.

L’équation différentielle (27) n’est donc pas aisément intégrable. Il faudra donc l’exploiter autrement.

Retour au document

¹⁵Etude du roulement à l’atterrissage

Il s’agit d’exploiter les équations :

(28) m dV/dt = – Rx – m g sin γ – F (m g – Rz)
Rx = (1/2) ρ S Cx V²
Rz = (1/2) ρ S Cz V²
(1) θ + K = γ + α.

Posons v = V / Vs avec Vs² = 2 m g / [a ρ S (α_d – 1)]

V = v Vs implique V² = v² Vs² et dV/dt = Vs dv/dt.
(28) qui s’écrit
m dV/dt = F Rz – Rx – m g (F + sin γ)
– dV/dt = ρ S (Cx – F Cz) V² / (2 m) + g (F + sin γ)
devient :
– Vs dv/dt = g (Cx – F Cz) v² / [a (α_d – 1)] + g (F + sin γ)
– a (α_d – 1) Vs (dv/dt) / [g (Cx – F Cz)] = v² + a (α_d – 1) (F + sin γ) / (Cx – F Cz).

Posons Q = a (α_d – 1) (F + sin γ) / (Cx – F Cz).

Intégration de – a (α_d – 1) Vs (dv/dt) / [g (Cx – F Cz)] = v²

Si Cx – F Cz > 0

Posons q² = Q.
– a (α_d – 1) Vs (dv/dt) / [g (Cx – F Cz)] = v² + q²
– dv / (v² + q²) = g (Cx – F Cz) dt / [a (α_d – 1) Vs].

L’intégration donne – arc tg(v / q) = g q (Cx – F Cz) t / [a (α_d – 1) Vs] + Cte
Si à l’instant t₁ on a la vitesse v₁ et à l’instant t₂ la vitesse v₂,
t₂ – t₁ = a (α_d – 1) Vs [arc tg(v₁ / q) – arc tg(v₂ / q)] / [g q (Cx – F Cz)].

Si Cx – F Cz < 0

On est alors dans le cas où F > Cx / Cz. On verra dans les applications numériques que cela correspond à une phase de freinage. Comme le calcul de t₂ – t₁ est alors sans grand intérêt, je ne développe pas ce cas ici.

Ceci dit, il suffit de poser q² = – Q puis de procéder à l’intégration qui donne un résultat en arg th(v / q)…

Recherche de d en fonction de v

Si dv/dt est non nul (c’est le cas) dd/dv = (dd/dt) / (dv/dt) = V / (dv/dt) = Vs v / (dv/dt).
Donc, puisque – dv / dt = g (Cx – F Cz) (v² + q²) / [a (α_d – 1) Vs], on a
– dd/dv = a (α_d – 1) Vs² v / [g (Cx – F Cz) (v² + Q)] – dd/dv = [2 m / (ρ S)] v / [(Cx – F Cz) (v² + Q)] – dd = [m / (ρ S)] 2 v dv / [(Cx – F Cz) (v² + Q)].

L’intégration donne :
– d = [m / (ρ S)] ln(v² + Q) / (Cx – F Cz) + Cte.
On note que le signe de Q n’intervient pas.

Quand on décélère de la vitesse v₁ à la vitesse v₂, on parcourt
Δd = [m / (ρ S)] ln[(v₁² + Q) / (v₂² + Q)] / (Cx – F Cz).

Retour au document

²⁰Crédibilité des performances

Cette présentation fait apparaître d’un côté des paramètres et de l’autre des performances. Cette distinction est commode mais finalement assez artificielle. En effet, elle s’appuie implicitement sur la distinction aussi essentielle que subtile entre « performance crédible » et « performance non crédible ».

Je m’explique.

La donnée, par exemple en lisse, d’une performance aussi essentielle que la vitesse de décrochage V₁, revient à fournir Cz_max = a (α_d – 1). Si j’y crois (c’est à souhaiter), je peux faire disparaitre un paramètre de la liste des inconnues. Si par exemple je garde a comme inconnue, j’ai α_d = 1 + Cz_max / a ; α_d ne me sert plus que pour simplifier l’écriture de certaines équations, ou comme « variable de contrôle » pour vérifier que le choix ultérieur de a ne conduit pas à une bizarrerie comme α_d en dehors de la plage 15 à 18° sur laquelle tous les ouvrages sont d’accord.

De façon similaire, la donnée, en lisse, de la finesse max f_max fait que les variables a, b et c deviennent liées, puisque f_max² = a² / (4 b c) ; mais si on a un doute sur la valeur donnée pour f_max (le constructeur a pu être prudent et donc minorer f_max pour que cette performance soit tenue à coup sûr), on aura intérêt à :

• soit conserver les trois variables a, b et c qui permettront ultérieurement de calculer la vraie valeur de f_max, et garder f_max = a / [2 (b c)^1/2] comme « variable de contrôle » avec une plage attendue entre 9,5 et 14 ou 15
• soit adopter f_max comme nouveau paramètre (qui a l’avantage d’une plage des valeurs possibles connue a priori), en remplacement du paramètre qui, parmi a, b et c, « inspire » le moins.

En résumé, une « performance crédible » est une performance qui permet de calculer à coup sûr un paramètre du modèle, ou au moins de diminuer le nombre de paramètres à évaluer. Une « performance non crédible » est une performance annoncée que l’on retient comme indicateur ou comme nouvelle variable avec un ordre de grandeur connu, mais qui ne diminue pas le nombre de paramètres à évaluer.

Retour au document

Ci-dessous : note orpheline qui a dû avoir son utilité mais je ne sais plus où, probablement une édition antérieure…

²¹Calcul de α_m

Cx = b + c (α – α_m)² avec c = a / [2 f_max (α_f – α_m)] et b = a (α_f + α_m) / (2 f_max).

Donc Cx / a = (α_f + α_m) / (2 f_max) + (α – α_m)² / [2 f_max (α_f – α_m)] 2 f_max (α_f – α_m) Cx / a = α_f² – α_m² + (α – α_m)²
2 f_max (α_f – α_m) Cx / a = α_f² – α_m² + α² + α_m² – 2 α α_m
2 f_max (α_f – α_m) Cx / a = α_f² + α² – 2 α α_m
2 α_m (α – f_max Cx / a) = α_f² + α² – 2 f_max α_f Cx / a

α_m = [a (α_f² + α²) – 2 f_max α_f Cx] / [2 (a α – f_max Cx)].

Retour au document