Application pratique

Mise en oeuvre de la présentation détaillée de l’atmosphère : calcul de la pression atmosphérique et de la densité de l’air sur un aérodrome

Cette application, en fait très simple même si certaines formules utilisées sont compliquées, a pour objet de connaître les conditions dans lesquelles notre DR 400 va évoluer lors de son décollage ou de son atterrissage.

Les notations sont celles de la présentation détaillée de l’atmosphère et ne seront pas rappelées ici.

Connaissant l’altitude Z_AD de l’aérodrome, le QNH et la température réelle T (ou Δt), il s’agit de calculer la pression atmosphérique p (= QFE) et la densité de l’air (ρ / ρ_0std). Et bien sûr, au passage la donnée manquante : Δt ou T.

Le but est d’obtenir, à titre d’exercice, des formules exactes.

Mais d’un point de vue pratique, nous établirons aussi des formules approchées pour une application plus aisée sans tableur ou calculatrice programmable.

1 – Rappel des constantes

µ = 1,9812 ; T_0std = 288,15 K ; Z₀ = T_0std / µ ; p_0std = 1013,25 hPa ; ρ_0std = 1,225 kg/m³.

2 – Calcul exact

Z_QNH = Z₀ [1 – (QNH / p_0std)^1/α]

De Z_QFE = Z_QNH + Z_AD
on tire le QFE : QFE = p_0std [1 – (Z_QFE / Z₀)]^α

Au passage, on en déduit T_std = T_std(Z_QFE) = µ (Z₀ – Z_QFE) = T_0std – µ Z_QFE
et donc T = T_std + Δt. Ou, à l’inverse, si on connait la température réelle T, on sait en déduire Δt.

On a également ρ / ρ_0std = (QFE / p_0std) (T_0std / T)
ou encore ρ / ρ_0std = (T_std / T_0std)^α-1 (T_std / T)
avec T_std et T calculés ci-dessus.

A ce stade, le problème posé est entièrement résolu. La suite vise à profiter de l’occasion pour voir ce que l’on peut déduire d’autre des données fournies. Cela nous sera utile pour le § 5 (Remarque sur l’évaluation du QNH) qui permet de résoudre le problème dans le cas plus général où le QNH fourni est celui d’un aérodrome voisin.

Accessoirement, on peut calculer grâce à la formule (8) :
Z(QNH) = (Δt / µ) ln[1 – Z_AD / (Z₀ – Z_QNH)].

Dans toute l’atmosphère, on a par la formule (3) :
Z(p) = Z(QNH) + (Z_p – Z_QNH) – (Δt / µ) ln[(Z₀ – Z_p ) / (Z₀ – Z_QNH)]

En général, seul le calcul itératif donné par les formules (11) permet, réciproquement, de calculer Z_p en fontion de Z(p).

• Premier terme : Y₀ = ΔZ = Z(p) – Z(Q)
• Termes suivants : Y_n+1 = ΔZ + (Δt / µ) ln[1 – Y_n / (Z₀ – Z_Q)] = Z(p) – Z(Q) + (Δt / µ) ln[1 – Y_n / (Z₀ – Z_Q)]
• Z_p = Z_Q + dernier Y_i calculé, l’arrêt du calcul étant décidé quand la stabilité des chiffres significatifs est atteinte selon la précision recherchée.

C’est normalement le cas pour estimer Z_QFF à partir de Z(QFF) = 0, Z(QNH) et Z_QNH.
« Normalement » parce qu’en fait (Z_QFF – Z_QNH) est tellement petit que la formule approchée (M) suffit.

Enfin, à partir de Z_QFF, on peut calculer QFF = p_0std [1 – (Z_QFF / Z₀)]^α.

3 – Formules approchées

Nous reprenons ci-après le § 2, en explicitant les formules approchées utilisables.

Le QNH étant dans la fenêtre de calage, Z_QNH # 0,0276 (p_0std – QNH).

De Z_QFE = Z_QNH + Z_AD, on tire QFE # p_0std – (Z_QFE / 0,0276) si le QFE est dans la fenêtre de calage .

Sinon, il faut conserver la formule exacte QFE = p_0std [1 – (Z_QFE / Z₀)]^α, ou à défaut, minimiser l’erreur en prenant la valeur classique de 28 ft/hPa qui est alors mieux adaptée, soit QFE # p_0std – (Z_QFE / 0,028).

Le calcul de T_std et T ou Δt est inchangé : T_std = T_std(Z_QFE) = µ (Z₀ – Z_QFE) = T_0std – µ Z_QFE
et donc T = T_std + Δt ou Δt = T – T_std selon la donnée disponible.

Il en est de même pour ρ / ρ_0std = (QFE / p_0std) (T_0std / T)
ou encore ρ / ρ_0std = (T_std / T_0std)^α-1 (T_std / T)
avec T_std et T calculés ci-dessus.

Par contre, Z(QNH) peut être calculé plus simplement par application de la formule (M)
Z(QNH) – Z(QFE) # (Z_QNH – Z_QFE) [1 + (Δt / T_M)

Comme Z(QFE) = Z_AD et Z_QFE – Z_QNH = Z_AD, on a
Z(QNH) # Z_AD – Z_AD [1 + (Δt / T_M)
Z(QNH) # – Z_AD Δt / T_M avec T_M = µ (Z₀ – Z_M).
Rappel : Z_M = (Z_QFE + Z_QNH) / 2.

Ensuite, comme dit au § 2, on peut calculer Z_QFF à partir de Z(QFF) = 0 par la formule approchée (M) :
Z_QFF – Z_QNH # [Z(QFF) – Z(QNH)] / [1 + (Δt / T_M)
Z_QFF # Z_QNH – Z(QNH) / [1 + (Δt / T_M)] avec T_M’ = µ (Z₀ – Z_M’) = T_0std – µ Z_M’.

Comme on ne connait pas (encore) Z_M’ = (Z_QFF + Z_QNH) / 2, on remplace T_M’ par T_QNH = µ (Z₀ – Z_QNH).

On obtient Z_QFF # Z_QNH – Z(QNH) / [1 + (Δt / T_QNH)].

Enfin, à partir de Z_QFF, on peut calculer QFF par la formule approchée QFF # p_0std – (Z_QFF / 0,0276) puisque QFF est dans la fenêtre de calage.

4 – Application numérique

Prenons (je l’aime bien) l’aérodrome de Mende (LFNB) :
Z_AD = 3362 ft (117 hPa, donc QFE en atmosphère standard 1013 – 117 = 896 hPa)

Conditions du jour : Δt = + 15°C, QNH = 1008.

Calcul exact

Z_QNH = Z₀ [1 – (QNH / p_0std)^1/α] = (288,15 / 1,9812) [1 – (1008 / 1013,25)^1/5,2558797] = 0,1437 kft

Z_QFE = Z_QNH + Z_AD = 0,1437 + 3,362 = 3,5057 kft

QFE = p_0std [1 – (Z_QFE / Z₀)]^α = 1013,25 [1 – (3,5057 x 1,9812) / 288,15]^5,2558797 = 891,3 hPa

T_std = T_std(Z_QFE) = T_0std – µ Z_QFE) = 288,15 – 1,9812 x 3,5057 = 281,20 K
et donc T = T_std + Δt = 281,2 + 15 = 296,20 K.

ρ / ρ_0std = (QFE / p_0std) (T_0std / T) = (891,3 / 1013,25) (288,15 / 296,20) = 0,856

Z(QNH) = (Δt / µ) ln[1 – Z_AD / (Z₀ – Z_QNH)]

Z(QNH) = (15 / 1,9812) ln{1 – 3,362 / [(288,15 / 1,9812) – 0,1437)]} = – 0,1772 kft

Calcul itératif de Z_QFF à partir de Z(QFF) = 0, Z(QNH) et Z_QNH :

• Premier terme : Y₀ = Z(QFF) – Z(QNH) = – Z(QNH) = 0,1772
• Termes suivants :
  Y_n+1 = – Z(QNH) + (Δt / µ) ln[1 – Y_n / (Z₀ – Z_QNH)] Y_n+1 = 0,1772 + (15 / 1,9812) ln{1 – Y_n /[(288,15 / 1,9812) – 0,1437]}
  Y₁ = 0,1772 + (15 / 1,9812) ln{1 – 0,1772 / [(288,15 /1,9812) – 0,1437]} = 0,1680
  Y₂ = 0,1772 + (15 / 1,9812) ln{1 – 0,1680 / [(288,15 /1,9812) – 0,1437]} = 0,1684
  (même valeur pour les suivants).
• Z_QFF = Z_QNH + dernier Y_i calculé = 0,1437 + 0,1684 = 0,3121 kft.

Enfin, on calcule QFF = p_0std [1 – (Z_QFF / Z₀)]^α = 1013,25 [1 – (0,3121 x 1,9812) / 288,15]^5,2558797 = 1001,87 hPa.

Calculs approchés

Le QNH étant dans la fenêtre de calage, Z_QNH # 0,0276 (p_0std – QNH) = 0,0276 (1013,25 – 1008) = 0,1449 kft (erreur de + 1,2 ft…).

De Z_QFE = Z_QNH + Z_AD = 3,5057 kft (on reprend la valeur exacte pour ne pas cumuler les erreurs et voir ainsi le poids de chaque approximation) on tire, puisque le QFE n’est pas dans la fenêtre de calage : QFE # p_0std – (Z_QFE / 0,028) = 1013,25 – (3,5057 / 0,028) = 888,05 (erreur de – 3,25 hPa).

Le résultat du calcul de T_std et T ne change bien sûr pas significativement pour un écart 1,2 ft sur Z_QFE.

ρ / ρ_0std = (QFE / p_0std) (T_0std / T) = (888,05 / 1013,25) (288,15 / 296,20) = 0,853 (erreur de – 0,003).

Toujours en remontant aux valeurs exactes de Z_QNH (0,1437 kft) et Z_QFE (3,5057 kft)
on a Z_M = (Z_QFE + Z_QNH) / 2 = (3,5057 + 0,1437) / 2 = 1,825 kft,
et donc T_M = µ (Z₀ – Z_M) = 288,15 – 1,9812 x 1,825 = 284,53.

On peut donc calculer Z(QNH) # – Z_AD Δt / T_M = – 3,362 x 15 / 284,53 = – 0,1772 kft (erreur inférieure à 0,1 ft !)

Ensuite, avec T_QNH = µ (Z₀ – Z_QNH) = 288,15 – 1,9812 x 0,1437 = 287,87 K, on peut estimer Z_QFF # Z_QNH – Z(QNH) / [1 + (Δt / T_QNH)]

Z_QFF # 0,1437 + 0,1772 / [1 + (15 / 287,87)] = 0,3121 kft (erreur inférieure à 0,1 ft !)

Enfin, on a QFF # p_0std – (Z_QFF / 0,0276), soit QFF # 1013,25 – (0,3121 / 0,0276) = 1001,94 hPa (erreur de + 0,07 hPa).

4 – Conclusions sur l’application numérique

Le calcul approché de Z_QNH # 0,0276 (p_0std – QNH) est tout à fait acceptable. Il en est de même du calcul approché inverse du QFF à partir de Z_QFF.

Par contre, le calcul du QFE à partir de Z_QFE nécessite l’emploi de la formule exacte car une erreur de 3 hPa sur une pression de calage n’est pas négligeable (on note cependant que son impact sur la densité calculée est de 0,003 / 0,856 = 0,35% ce qui ne doit pas changer fondamentalement les distances de décollage et d’atterrissage…).

On pouvait s’attendre à cette différence entre d’une part le QNH et le QFF, et d’autre part le QFE, les deux premiers étant largement dans la fenêtre de calage et le dernier en étant nettement en dehors.

Le calcul de Z(QNH) avec la formule approchée peut remplacer sans problème le calcul exact puisqu’il apporte une erreur inférieure à 0,1 ft. Cependant le calcul exact ne présente aucune difficulté.

De même, le calcul approché de Z_QFF peut se substituer au calcul plus précis par itérations. Et là c’est vraiment intéressant, parce que beaucoup plus simple.

 

5 – Remarque sur l’évaluation du QNH

Le QNH est une donnée liée à l’aérodrome. Pour l’établir, la station météo évalue le QFE en tenant compte de la différence d’altitude réelle entre le point de mesure de la pression et l’altitude officielle de l’aérodrome.
Ensuite, elle calcule (ou plutôt lit dans des tables) Z_QFE, en déduit Z_QNH = Z_QFE – Z_AD, et enfin le QNH. Donc tout ce que nous avons fait, c’est la démarche inverse qui partant du QNH donne le QFE, et cela très simplement.

Si on n’a pas le QNH et la température de l’aérodrome, on fait avec ce que l’on a, généralement le QNH et la température d’un autre aérodrome, celui dont on a décollé ou un aérodrome voisin contacté par  radio.

Mais dans ce cas là, c’est un peu plus difficile.

Comme on vient de le rappeler dans cet exercice, la formule (3) nous donne en tout point de l’atmosphère Z(p) en fonction de Z_p :

Z(p) = Z(QNH) + (Z_p – Z_QNH) – (Δt / µ) ln[(Z₀ – Z_p ) / (Z₀ – Z_QNH)]

Et à l’inverse, les formules (M), (9), (10) et (11) nous permettent, par ordre de précision croissante, de trouver Z_p et donc p en fonction de Z(p).

En particulier, à Z_AD = Z(QFE) correspond par ces formules Z_QFE, et de là le QFE de notre aérodrome.

Quand on a le QFE, on peut trouver le QNH de l’aérodrome, mais dans notre cas ce serait inutile puisque c’est le QFE que nous cherchons.