Configurations de vol

On abordera successivement :

1 – Etude du modèle en descente, moteur réduit, sur une pente constante

1.1 – Cas particulier : descente à vitesse v constante
1.2 – Cas général : descente à accélération quelconque

2 – Etude du modèle en palier à vitesse constante
3 – Etude du modèle en montée avec une pente constante

3.1 – Montée à vitesse v constante
3.2 – Cas général : montée à accélération quelconque (étude à venir…)

4 – Etude de la trajectoire en arc de cercle (au décollage ou à l’atterrissage)

4.1 – Etude de l’arrondi à l’atterrissage, moteur réduit
4.2 – Etude (à venir…) de la phase de décollage suivant la rotation

5 – Etude du roulement (au décollage ou à l’atterrissage)

5.1 – Roulement à l’atterrissage, moteur réduit
5.2 – Roulement au décollage, pleine puissance (à venir…)

 

1 – Etude du modèle en descente, moteur réduit, sur une pente constante

On a vu que les équations du modèle en vol moteur réduit, sont :

(9) – m dV/dt = (1/2) ρ S Cx V² + m g sin γ
(10) (1/2) ρ S Cz V² = m g cos γ

L’équation (10) permet, pour V donné, de calculer Cz et donc α ; si on suppose connus les paramètres b et c, on en déduit Cx = b + c α² ; (9) donne alors dV/dt.

En particulier, tant que |α| reste inférieur ou égal à α_d – 2, on peut écrire α = Cz / a, ce qui conduit⁶ à une équation différentielle sous la forme :

(15) dV/dt = M – L V² – N / V²
ou encore
(16) V² dV/dt = – L V⁴ + M V² – N
avec

L = b [ρ S / (2 m)] M = – g sin γ
N = (c g² / a²) [2 m / (ρ S)] cos² γ

Comme il est commode d’exprimer V en fonction de la vitesse de décrochage Vs, on prendra la variable réduite v = V / Vs.

Remarque importante : la vitesse de décrochage Vs utilisée ici est celle qui correspond aux conditions atmosphériques, à la masse, et à la configuration utilisée (volets en particulier).
Elle ne doit pas être confondue avec celle fournie par le manuel de vol, qui est généralement donnée à la masse maximum m_M et au niveau de la mer dans des conditions normales conditions normales de température et de pression (la partie atmosphère du présent site indique que dans ce cas, on a ρ = ρ₀ = 1,225 kg/m³).
Il est à signaler que le manuel de vol du DR400/180 n’indique pas explicitement à quelle masse est donnée Vs : il indique « au poids total ». On peut, logiquement mais sans certitude pour l’instant, penser qu’il s’agit de la masse maximum à l’atterrissage m_Ma = 1045 kg ; en effet, la procédure d’atterrissage indique une approche à 1,3 Vs0, ce qui implique que Vs0 soit bien donnée à m = m_Ma.

L’équation (11) nous donne Vs² = 2 m g / [a ρ S (α_d – 1)].

Le changement de variable v = V / Vs permet, compte tenu de cette expression de Vs, de réécrire les différents termes de l’équation (16) et on arrive⁷ à :

(17) v² dv/dt = – J (A v⁴ – B v² + C)
avec

J = Vs [ρ S / (2 m)],ou, de façon équivalente, J = {ρ S g / [2 m a (α_d – 1)]}^1/2
A = b
B = – a (α_d – 1) sin γ
C = c (α_d – 1)² cos² γ

A est une constante ; B et C également si la pente γ est constante.

 

1.1 – Cas particulier : descente à vitesse v constante

En remontant aux équations (9) et (10) on a

(9) – m dV/dt = (1/2) ρ S Cx V² + m g sin γ
(10) (1/2) ρ S Cz V² = m g cos γ

Donc avec dV/dt = 0, on a immédiatement tg γ = – Cx / Cz

La finesse f est définie par f = Cz / Cx ; on a donc tg γ = – 1 / f : quand l’avion descend de 1 la distance parcourue au sol est f.

Il est évidemment important, en cas de panne moteur, de connaitre les conditions dans lesquelles f est maximum.

Finesse maximum pour une configuration donnée

Posons f_max = max(Cz / Cx).

Cx = b + c α² et Cz = a α donnent : Cx = b + (c / a²) Cz².
Donc (Cz / Cx)² = (a² / c) (Cx – b) / Cx².

Si on pose Cz / Cx = f(Cx), on a en dérivant :
2 f(Cx) df/dCx = (a² / c) [Cx² – 2 (Cx – b) Cx] / Cx⁴
Une condition nécessaire (et non suffisante, mais en fait elle l’est…) pour qu’à Cx corresponde un maximum de f(Cx) est que df/dCx = 0, soit Cx = 2 b.

La finesse maximum est obtenue quand le coefficient de traînée induite Cxi = c α² est égal au coefficient de trainée parasite Cx0 = b.
La valeur α_f de α correspondante est donnée par c α_f² = b, soit α_f² = b / c.
On a alors f_max = Cz / Cx = a α_f / (2 b) que l’on peut aussi écrire, compte tenu de α_f² = b / c, f_max = a / (2 c α_f).
Au passage, on note que f_max² = a² / (4 b c).

Si on note γ_f la pente de finesse maximum, elle est donnée par

tg γ_f = – 1 / f_max = – 2 b / (a α_f) = – 2 c α_f / a.

Et on a

tg² γ_f = 4 b c / a².

La vitesse Vf est donnée par (10) 1/2 ρ S Cz V² = m g cos γ avec Cz = a α_f, V = Vf et γ = γ_f :

Vf² = 2 m g cos γ_f / (ρ S a α_f).

Par ailleurs, on a vu [équation (11)] que Vs² = 2 m g / [a ρ S (α_d – 1)].
En posant v_f = Vf / Vs, on a par division de Vf² par Vs² :

v_f² = (α_d – 1) cos γ_f / α_f.

Puisque tg γ_f = – 2 b / (a α_f), on a cos γ_f / α_f = – a sin γ_f / (2 b) ; on peut donc aussi écrire :
Vf² = – m g sin γ_f / (b ρ S)
et v_f² = – [a / (2 b)] (α_d – 1) sin γ_f.

Enfin, puisque tg γ_f = – 1 / f_max, on a 1 / cos² γ_f = 1 + tg² γ_f = (1 + 1 / f_max²)
Donc dans les expressions de Vf² et vf², on peut remplacer cos γ_f par son expression en fonction de f_max : cos γ_f = 1 / (1 + 1 / f_max²)^1/2.
Au passage, on note que l’expression 1 / cos² γ_f = 1 + tg² γ_f donne, avec tg² γ_f = 4 b c / a² : cos² γ_f = 1 / (1 + 4 b c / a²).
Donc de v_f² = (α_d – 1) cos γ_f / α_f on tire, compte tenu de 1 / α_f² = c / b,
v_f⁴ = c (α_d – 1)² / [ b (1 + 4 b c / a²)] v_f⁴ = (a² c / b) (α_d – 1)² / (a² + 4 b c).

Remarques :

• Aucun des paramètres α_f, f_max, γ_f et v_f ne dépend de ρ ou de m, qui n’apparaissent que dans l’expression de Vs, et donc de Vf = v_f Vs.
• Quand, pour un avion donné, on parle de finesse maximum, il s’agit bien sûr de la valeur la plus élevée des f_max obtenus dans les différentes configurations, en fonction de la sortie des volets.
• La vitesse de finesse maximum Vf est généralement donnée, comme la vitesse de décrochage Vs, au niveau de la mer dans des conditions normales conditions normales de température et de pression (ρ = ρ₀ = 1,225 kg/m³), et à la masse maximum m_M.
  Il est à signaler que le manuel de vol du DR400/180 n’indique pas explicitement à quelle masse est donnée Vf ; on pourrait penser que c’est la masse maximum au décollage m_Md = 1 100 kg parce que la donnée de Vf suit un tableau des performances qui se place dans cette hypothèse. Mais on verra que c’est en fait la masse maximum à l’atterrissage m_Ma = 1 045 kg.
  Par ailleurs, le même manuel de vol indique que « l’altitude et la température n’ont pas d’influence sensible » sur f_max et Vf. Il s’agit donc ici de l’influence de ρ ; il est clair que f_max n’en dépend pas, mais pour ce qui est de Vf, il faut interpréter la remarque en notant que c’est ρ Vf², et donc la vitesse indiquée, qui ne dépend pas de ρ.

 

Etude générale de la descente à vitesse v constante

D’après l’équation (17) dv/dt = 0 équivaut à A v⁴ – B v² + C = 0.

En posant X = v² : l’équation devient A X² – B X + C = 0.

L’existence de solutions est donnée par le signe de Δ = B² – 4 AC ; le calcul montre⁸ que, pour les pentes de descente, ce signe est celui de (- γ) – (- γ_f) où (rappel) γ_f est l’angle de pente de finesse maximum. Cette écriture est commode dans la mesure où les angles γ et γ_f étant négatifs en descente, « – γ » et « – γ_f » sont des angle de « pente de descente » comptés positivement.

• Si (-γ) < (-γ_f), on a Δ < 0 : il est impossible (moteur réduit) de descendre à vitesse constante sur cette pente ; plus précisément, le signe de dv/dt étant, d’après l’équation (17), opposé au signe de A X² – B X + C, la vitesse v est décroissante.
• Si γ = γ_f, Δ = 0 ; pour que la vitesse soit constante sur cette pente, il faut et il suffit que v = X_d^1/2, en posant X_d = B / (2 A) = – [a / (2 b)] (α_d – 1) sin γ.
  Comme γ = γ_f, X_d = – [a / (2 b)] (α_d – 1) sin γ_f = v_f². Donc v = v_f. Ce résultat est conforme au bon sens : la vitesse constante que l’on peut maintenir sur la pente de finesse maximum est la vitesse v_f de finesse maximum.
  dv/dt, de signe opposé à A X² – B X + C = A (X – X_d)², est négatif quand v diffère de v_f : supérieure ou inférieure à v_f, la vitesse v est décroissante.

• Si (- γ) > (- γ_f), Δ > 0 ; pour que la vitesse soit constante sur cette pente, il faut et il suffit que v = v₁ = X₁^1/2 ou v = v₂ = X₂^1/2
  où X₁ et X₂ sont les deux racines réelles de A X² – B X + C = 0
  X₁ = (B – Δ^1/2) / (2 A)
  X₂ = (B + Δ^1/2) / (2 A).
  On vérifie que X₂ et C / A = X₁ X₂ étant positifs, la racine X₁ est aussi positive.
  dv/dt, de signe opposé à A X² – B X + C = A (X – X₁) (X – X₂), est positif (et donc v croit) si et seulement si v est entre v₁ et v₂.

L’étude théorique complète des variations de v₁ et v₂ en fonction de la pente γ n’a pas beaucoup d’intérêt, mais il est utile d’observer les valeurs numériques que l’on obtient pour des pentes particulières, afin de préciser l’aspect physique des choses.

Quand – γ = – γ_f, Δ = 0 et v₁ = v₂ = v_f. Avec les valeurs de a, b, c et α_d que nous établirons plus tard pour le DR400/180, on a v_f # 1,44.

Quand – γ (pente descendante) augmente au-delà de cette valeur, X_d = B / (2A) = – [a / (2 b)] (α_d – 1) sin γ croit comme – sin γ, et v_d en découle par v_d = X_d^1/2.
Avec les mêmes valeurs numériques que ci-dessus, on trouve que si γ atteint par exemple 1,3 γ_f, on a v_d # 1,64.

Dans le même temps, le terme en Δ^1/2 / (2A) qui constitue l’écart entre X₁ et X_d et l’écart entre X_d et X₂ augmente plus rapidement que X_d, de sorte que pour cette pente de 1,3 γ_f, v₁ est d’environ 0,98 et v₂ d’environ 2,1. Peu importent les valeurs numériques exactes, c’est le mécanisme qui est important : quand v_d augmente avec la pente, v₂ augmente plus vite et v₁ diminue et devient inférieur à 1.

A quoi correspondent v₁ et v₂ ? Partons de la pente γ_f pour laquelle Δ = 0 et plaçons nous à la vitesse constante v_f. Si maintenant on augmente la pente descendante, v₁ va diminuer par rapport à sa valeur actuelle (v_f), et v₂ va augmenter.

Si, sur la nouvelle pente plus forte, on veut adopter une vitesse constante, on doit choisir entre :

• cabrer l’avion pour ralentir et adopter v₁ (vitesse plus faible sur une pente plus forte) ; si on augmente encore la pente et que l’on suit la décroissance correspondante de v₁, on finit par se « parachuter » (pente forte aux grands angles) voire décrocher
• piquer pour accélérer et adopter v₂ (vitesse plus élevée sur une pente plus forte) ; si on augmente encore la pente et que l’on suit la croissance correspondante de v₂, on peut atteindre une vitesse excessive pour la configuration (sortie de l’arc blanc avec les volets, ou VNE en lisse).

Conclusion : en plané sur une pente γ donnée et à configuration constante (c’est-à-dire sans sortir les volets ou amorcer une glissade)

• si (- γ) < (- γ_f),  il est impossible de maintenir la vitesse constante, quelle qu’elle soit ; elle est systématiquement décroissante.
• si (- γ) > (- γ_f), il est impossible de maintenir une vitesse quelconque constante : il faut qu’elle coïncide avec v₁ ou v₂ ; inférieure à v₁ ou supérieure à v₂, la vitesse est décroissante ; comprise entre v₁ et v₂, la vitesse est croissante.
• si (- γ) = (- γ_f), on a v₁ = v₂ = v_f ; il est impossible de maintenir une vitesse quelconque constante : il faut qu’elle coïncide avec la vitesse de finesse maximum v_f ; par rapport au cas précédent, la zone entre v₁ et v₂ où la vitesse est croissante a disparu : si elle diffère de v_f, la vitesse est décroissante.

1.2 – Cas général : descente à accélération quelconque

Applications de l’équation différentielle (17)

(17) v² dv/dt = – J (A v⁴ – B v² + C)

avec

J = Vs [ρ S / (2 m)],
ou J = {ρ S g / [2 m a (α_d – 1)]}^1/2
A = b
B = – a (α_d – 1) sin γ
C = c (α_d – 1)² cos² γ

Le seul coefficient de l’équation (17) dépendant de ρ et m est J, proportionnel à (ρ / m)^1/2.
On note aussi que tous dépendent de la configuration choisie (via a, b, c, et α_d).

On peut utiliser cette équation différentielle de diverses façons

• Calcul numérique : partant de conditions initiales où t et v sont connus, on peut utiliser directement l’équation différentielle pour calculer, à l’aide d’un tableur, les valeurs de v correspondant aux instants successifs t + Δt, t + 2Δt, etc.
  En effet, si Δt est assez petit, la vitesse (v + Δv) à l’instant t + Δt peut être prédite par v + Δv # v + (dv/dt) Δt avec
  dv/dt = – {ρ S g / [2 m a (α_d -1)]}^1/2 (A v² – B + C / v²).
• Dans le cas où (A v⁴ – B v² + C) est différent de 0 (accélération non nulle) on peut écrire (17) sous la forme
  (18) {ρ S g / [2 m a (α_d – 1)]}^1/2 dt = – v² dv / (A v⁴ – B v² + C)
  Cette séparation des variables permet de trouver t = F (v) par intégration ; mais on ne peut pas en tirer l’expression réciproque de v en fonction de t, qui permettrait par une nouvelle intégration (puisque dd/dt = V = v Vs) de trouver la distance d en fonction de t.
• On peut par contre remarquer que dd/dt = (dd/dv) (dv/dt), soit V = v Vs = (dd/dv) (dv/dt) ;
  D’où [si dv/dt non nul ie si (A v⁴ – B v² + C) est différent de 0] dd/dv = Vs v / (dv/dt) = – Vs [2 m a (α_d – 1) / (ρ S g)]^1/2 v³ / (A v⁴ – B v² + C)
  avec Vs² = 2 m g / [a ρ S (α_d – 1)] Donc dd/dv = – {2 m g / [a ρ S (α_d – 1)]}^1/2 [2 m a (α_d – 1) / (ρ S g)]^1/2 v³ / (A v⁴ – B v² + C)
  dd/dv = – [2 m / (ρ S)] v³ / (A v⁴ – B v² + C)
  que l’on peut écrire sous la forme
  (19) [ρ S / (2 m)] dd = – v³ dv / (A v⁴ – B v² + C)
  De même qu’on peut obtenir t = F (v) par intégration de (18), d = G (v) s’obtient par intégration de (19)
  De sorte que t et d sont donnés par leurs équations paramétriques en fonction de v, ce qui est très commode puisque la principale variable utilisée par le pilote est la vitesse v. On notera que c’est surtout d = G (v) qui nous intéresse, et on se dispensera autant que possible de calculer inutilement t = F (v).

 

Calcul de d en fonction de v

Il s’agit d’intégrer (19) [ρ S / (2 m)] dd = – v³ dv / (A v⁴ – B v² + C)

Pour limiter la longueur (déjà impressionnante) des expressions, on écrira la solution sous la forme (ρS / 2m) d = g (v) + Cte où Cte est une constante quelconque qu’on prendra d’ailleurs nulle.
On verra que g (v) s’écrit sous la forme g (v) = ln[P(v)] + Q(v).
Quand v passe de v_D (début) à v_F (fin) la distance parcourue Δd est donnée par
[ρ S / (2m)] Δd = g (v_F) – g (v_D) = ln[P(v_F)] + Q(v_F) – ln[P(v_D)] – Q(v_D) = ln[P(v_F) / P(v_D)] + Q(v_F) – Q(v_D)

L’intégration⁹ conduit aux résultats suivants :

• Si (-γ) < (-γ_f) et donc Δ < 0
  4 A g(v) = ln[1 / (A v⁴ – B v² + C)] +[2 B / (-Δ)^1/2]{arc tg [(v + p/2) (q – p²/4)^-1/2] – arc tg [(v – p/2) (q – p²/4)^-1/2]}
  avec p = {[B + 2 (AC)^1/2] / A}^1/2 et q = (C / A)^1/2
• Si γ = γ_f et donc Δ = 0
  4 A g(v) = ln[1 / (A v⁴ – B v² + C)] + v_f [1 / (v – v_f) – 1 / (v + v_f)] avec v_f = [B / (2A)]^1/2 (vitesse de finesse max)
• Si (- γ) > (- γ_f) et donc Δ > 0
  2 (v₂² – v₁²) A g(v) = v₁² ln [(v + v₁) (v – v₁)] – v₂² ln [(v + v₂) (v – v₂)] avec v₁ = [(B – Δ^1/2) / (2A)]^1/2 et v₂ = [(B + Δ^1/2) / (2A)]^1/2

Remarque : les distances calculées sont des distances sur trajectoire. Pour obtenir des distances « sol » il convient, si le vent est nul, de les multiplier par cos γ (en présence de vent, c’est à peine plus compliqué). L’impact est de 1 % pour – γ = 8° (14 %) donc généralement négligeable sur les pentes habituelles d’approche.

Les expressions ci-dessus sont un peu copieuses, mais il suffit de les rentrer une fois pour toutes dans un tableur pour avoir un outil donnant d en fonction de la pente, des conditions d’altitude, de température et de pression, et de la masse de l’avion.

Calcul de t en fonction de v (pour mémoire)

L’intégration de (18) {ρ S g / [2 m a (α_d – 1)]}^1/2 dt = – v² dv / (A v⁴ – B v² + C) se fait de façon similaire à celle de (19).

En intégrant, on trouve {ρ S g / [2 m a (α_d – 1)]}^1/2 t = f (v) + Cte
Quand v passe de v_D (début) à v_F (fin) le temps écoulé Δt est donné par
{ρ S g / [2 m a (α_d – 1)]}^1/2 Δt = f (v_F) – f (v_D)

• Si (-γ) < (-γ_f) et donc Δ < 0
  4 A f (v) = (1 / p) ln{(v² + pv + q) / [(v² – pv + q)}- w {arc tg [w (v + p/2)] + arc tg [w (v – p/2)]}
  avec w = (q – p²/4)^-1/2
• Si γ = γ_f et donc Δ = 0
  4 A f (v) = (1 / v_d) ln[(v + v_d) / (v – v_d)] + 1 / (v + v_d) + 1 / (v – v_d)
• Si (- γ) > (- γ_f) et donc Δ > 0
  2 A (v₂² – v₁²) f (v) = v₁ ln[(v – v₁) / (v + v₁)] – v₂ ln[(v – v₂) / (v + v₂)]

2 – Etude du modèle en palier à vitesse constante

On se place dans l’hypothèse où θ – γ = α – K est assez petit pour qu’on puisse le considérer comme nul, ce qui revient à négliger k T devant m g cos γ (cas 3 vu précédemment), ce qui permet d’appliquer les équations

(12) m dV/dt = T – (1/2) ρ S Cx V² – m g sin γ
(10) (1/2) ρ S Cz V² = m g cos γ

établies au § 5 de la page « Equations de base ».

A vitesse de croisière constante V = Vc, on a dV/dt = 0 ; de plus, en vol horizontal, on a γ = 0.
Donc l’équation (12) donne
(20) T = (1/2) ρ S Cx Vc²
et l’équation (10) s’écrit
(1/2) ρ S Cz V² = m g
ce qui permet, avec Cz = a α, de calculer α
(21) α = 2 m g / (ρ S a Vc²).

De plus, avec V = Vc, l’équation (13) donne
(22) T = Qh P / n + Uh ρ Vc².

En synthèse, on a donc les 3 équations :

(20) T = (1/2) ρ S Cx Vc²
(21) α = 2 m g / (ρ S a Vc²)
(22) T = Qh P / n + Uh ρ Vc²

avec de plus la relation Cx = b + c α².

Le calcul conduit¹⁰ à

(23) Vc² = [- T0 – (Δ / 4)^1/2] / M

avec

M = ρ (2 Uh – b S)
N = 4 c m² g² / [a² ρ S] Δ / 4 = T0² + M N.

Conclusion

Le manuel de vol fournit, dans des conditions précisées (type d’hélice, masse m, etc.), un tableau des performances en palier qui donne la valeur de Vc pour différentes valeurs de l’altitude pression Zp (et donc de ρ), de la puissance P donnée par P / P₀ et du régime n. Pour chaque ligne de ce tableau, les données doivent vérifier les équations (20), (21) et (22).

Si on fait assez confiance à ce tableau, on peut, grâce aux formules établies ci-dessus, en déduire des paramètres (en lisse) de notre modèle. Si ce n’est pas le cas, on peut au moins en tester la cohérence, et tester la cohérence entre lui et d’autres données du manuel de vol dans la même configuration lisse. On y reviendra dans l’application du modèle au DR400 dont l’un des objectifs est de déterminer les paramètres du modèle.

 

3 – Etude du modèle en montée avec une pente constante

On se place, comme pour l’étude du vol en palier, dans l’hypothèse où θ – γ = α – K est assez petit pour qu’on puisse le considérer comme nul, ce qui revient à négliger k T devant m g cos γ (cas 3 vu précédemment).

On peut alors appliquer les équations établies au § 5 de la page « Equations de base »

(12) m dV/dt = T – (1/2) ρ S Cx V² – m g sin γ
(10) (1/2) ρ S Cz V² = m g cos γ

avec, comme on l’a vu au au § 6 de la page « Equations de base »

(13) T = Qh P / n + Uh ρ V².

 

Rappel : si la montée se fait à puissance P maximum,
P / n = Φ(σ) P₀ / n₀
avec Φ(σ) = (σ – C) / (1 – C) où C = 0,12.
On peut donc écrire T = T0 + Uh ρ V² en posant T0 = Qh Φ(σ) P₀ / n₀ ; T0 [en fait T0(σ)] est la traction à puissance maximum et à vitesse nulle.

3.1 – Montée à vitesse constante

Deux vitesses de montée particulières sont intéressantes : VX, vitesse de montée à pente maximum (ou meilleur angle de montée) et VY, vitesse de montée à taux maximum (ou à VZ max, VZ étant la vitesse verticale). Toutes deux supposent une montée à puissance maximum.
Il sera aussi intéressant d’étudier la cas général de la montée à puissance maximum.

 

Vitesse VX de montée à pente maximum

Toutes choses égales par ailleurs, on peut considérer γ, T, θ et α comme des fonctions de V.
Une condition nécessaire pour que γ soit maximum est que dγ/dV = 0.

L’étude de ce cas conduit¹¹ à des formules approchées très correctes :

sin γ = T0 / mg – F
et VX² = 2 E m g cos γ / ρ
où E est donné par E² = c / [a² S (S b – 2 Uh)] et où F = 2 c / (a² S E).

Pour VX, on note qu’une bonne approximation s’obtient, sans calculer γ, par VX² # 2 E m g / ρ.

Par ailleurs, l’étude fournit une méthode itérative pour un calcul de γ plus précis, mais le gain est minime.

Vitesse VY de montée à taux maximum

On peut maintenant considérer V, T, θ et α comme des fonctions de γ. Il en est de même pour VZ = V sin γ.
Une condition nécessaire pour que VZ soit maximum est que dVZ/dγ = 0.
En admettant, pour simplifier les calculs, que m g cos γ # m g, l’étude de ce cas conduit¹² à
VY² = [- T0 – (Δ’ / 4)^1/2] / (3 M)

avec

M = ρ (2 Uh – b S)
N = 4 c m² g² / [a² ρ S] Δ’ / 4 = T0² – 3 M N.

On peut aussi calculer α = 2 m g / (a ρ S VY²)
d’où Cx = b + c α² et donc VZ = [T0 VY + (1/2) ρ VY³ (2 Uh – S Cx)] / (m g)
et enfin γ = arc sin(VZ / VY).

Si, pour être homogène avec l’approximation m g cos γ # m g admise dans ce calcul de VY, on revient à l’expression VX² # 2 E m g / ρ obtenue avec la même hypothèse, on trouve¹³ :
(24) VX⁴ = (3 VY² – Vc²) / (Vc^-2 + VY^-2).
Outre qu’elle est esthétique, cette formule, bien qu’approchée permet de tester la cohérence des données du manuel de vol en ce qui concerne les trois vitesses Vc, VX et VY à puissance maximum.

 

Vitesse V de montée quelconque, à puissance maximum

Il peut être intéressant de calculer les paramètres de la montée quand celle-ci s’effectue à vitesse quelconque.

On part des équations

(12) m dV/dt = T – (1/2) ρ S Cx V² – m g sin γ
(10) (1/2) ρ S Cz V² = m g cos γ.

On bénéficie de l’expérience des deux études précédentes qui nous ont indiqué quelles approximations sont acceptables en pratique.

A puissance maximum, on a de plus T = T0 + Uh ρ V² où T0 = Qh Φ(σ) P₀ / n₀.

En plus de dV/dt = 0 puisqu’on est à vitesse constante, on admet que m g cos γ = m g comme on l’avait fait pour le calcul de VY.

Si on connait V, (10) nous donne immédiatement α = Cz / a

α = 2 m g / (ρ S a V²).

On peut donc calculer Cx = b + c α², et donc sin γ par l’équation (12)
m g sin γ = T – (1/2) ρ S Cx V²
m g sin γ = T0 + Uh ρ V² – (1/2) ρ S Cx V²
sin γ = [T0 + (Uh – S Cx / 2) ρ V²] / (m g).

Il est aussi intéressant de calculer VZ = V sin γ
VZ = [T0 + (Uh – S Cx / 2) ρ V³] / (m g).

Remarque : il est très facile de calculer plus précisément γ en ne faisant pas l’approximation m g cos γ = m g.
Il suffit de prendre un paramètre γ_initial = 0, puis de calculer α = 2 m g cos γ_initial / (ρ S a V²).
Le calcul de sin γ donne alors une valeur approchée de γ que l’on peut reporter dans γ_initial, et ainsi de suite mais en pratique une seule itération suffit. On s’aperçoit alors en prenant pour V des valeurs voisines de la valeur calculée pour VY, que cette dernière (VY) n’est qu’approximative : on trouve, pour des valeurs voisines de VY, une valeur de γ plus élevée que celle pourtant réputée maximum, obtenue pour VY.

3.2 – Cas général : montée à accélération quelconque (étude à venir…)

Ce sujet sera traité dans une édition ultérieure.

 

4 – Etude de la trajectoire en arc de cercle (au décollage ou à l’atterrissage)

Dans les deux cas (décollage et atterrissage), la pente γ est croissante ; on a, si R est le rayon de l’arc de cercle, une accélération centripète V² / R dirigée vers le haut. Donc, avec la convention de signe adoptée pour dVz/dt, on a dVz/dt = V² / R.

Si on simplifie les notations en remplaçant dVx/dt par dV/dt, les équations (2) et (3) du modèle deviennent :
(7) m dV/dt = T cos(θ – γ) – (1/2) ρ S Cx V² – m g sin γ
(équation identique à celle déjà vue, mais la pente γ n’est plus constante)
(25) m V² / R = T sin(θ – γ) + (1/2) ρ S Cz V² – m g cos γ

 

Cas particulier

Si T = 0 (cas de l’atterrissage sans moteur ou moteur réduit), ces équations deviennent :
(9) – m dV/dt = (1/2) ρ S Cx V² + m g sin γ
[même remarque que pour l’équation (7)] (26) m V² / R = (1/2) ρ S Cz V² – m g cos γ

Il est tentant de traiter ce cas simple en premier.

 

4.1 – Etude de l’arrondi à l’atterrissage, moteur réduit

On peut raisonnablement supposer que cette phase de l’atterrissage est précédée d’une descente sur une pente constante γ_D (avec « D » comme « début »), et abordée avec une vitesse V_D ; l’avion est alors à une hauteur h au-dessus de la piste. Elle se termine par une pente γ_F = 0 (devinez pourquoi « F »), avec un toucher de la piste à une vitesse V_F qui se situe normalement entre Vs et 1,15 Vs (en dessous, c’est brutal, au-dessus, on « efface » la piste).
On peut commenter à l’infini la conformité de ce modèle à un atterrissage réel où l’arrondi se termine en fait à plus de 1,15 Vs et à quelques dizaines de cm du sol, et est suivi par un éventuel palier horizontal de décélération, puis une pente d’environ 1,5% se terminant par un toucher entre Vs et 1,15 Vs. Ce modèle, que j’avais utilisé dans une édition antérieure de ce site, est inutilement compliqué : d’abord parce que le résultat (distance d’atterrissage) ne change pas d’un mètre quand, à vitesse de présentation identique, on fait varier la forme de la trajectoire finale ; mais surtout parce que l’erreur due à cet espect du modèle est largement négligeable devant le fait que je ne prends pas en compte l’effet de sol qui, à la fois réduit la traînée et augmente la portance, et cela de façon significative…

Un peu de trigonométrie montre que h = 2 R sin²(γ_D / 2) = R (1 – cos γ_D)
et que la distance sol parcourue entre le passage à la hauteur h et le point d’impact est d_arr = h / tg (- γ_D) + R tg(- γ_D / 2) en tenant compte du fait que γ_D est négatif ; le premier terme est la distance sol au « point d’impact virtuel » qui serait le point de toucher si au lieu d’arrondir on conservait la pente γ_D.

On en déduit que d_arr = h / tg (- γ_D) + h tg(- γ_D / 2) / [2 sin²(- γ_D / 2)] et donc d_arr / h = 1 / tg(- γ_D) + 1 / [2 sin(- γ_D / 2) cos(- γ_D / 2)] = cos(- γ_D) / sin(- γ_D) + 1 / sin(- γ_D) = [1 + cos(- γ_D)] / sin(- γ_D).

Ordres de grandeur

Si p est la pente en % (p = 100 sin γ_D) on a, pour p assez petit, cos γ_D # 1 et donc d_arr / h # – 200 / p.
On a, de plus, R = h / [2 sin²(γ_D / 2)] # h / [2 (p / 200)²] = 20 000 h / p².

Par ailleurs, en posant V_D = v_D Vs et V_F = v_F Vs, on voit que l’accélération V² / R est maximum pour v (= V / Vs) = v_D ; pour le confort des passagers, on admet 0,2 g en aviation commerciale, soit (v_D Vs)² / R ≤ 0,2 g.

Enfin, au moment du toucher, il faut que V_F soit supérieure ou égale à la vitesse de décrochage, qui, sous un facteur de charge n = 1 + V_F² / (R g), est de Vs (n)^1/2.
Donc V_F ≥ Vs [1 + V_F² / (R g)]^1/2
1 + V_F² / (R g) ≤ v_F²
v_F² [1 – Vs² / (R g)] ≥ 1.

Si p = – 5, d_arr / h # 40 : un arrondi à h = 1 m donne un toucher à d_arr = 40 m ; on a alors R # 20 000 x 1 / 25 = 800 m.
Le confort des passagers impose (v_D Vs)² ≤ 0,2 g R soit (v_D Vs)² ≤ 0,2 x 9,81 x 800 et donc (v_D Vs)² ≤ 1570 ; on en déduit v_D ≤ 39,62 / Vs.
Avec Vs = 96,2 km/h soit 96,2/3,6 # 26,7 m/s, on obtient v_D ≤ 39,62 / 26,7 soit v_D ≤ 1,48.
Enfin, v_F² ≥ 1 / [1 – Vs² / (R g)] implique v_F² ≥ 1 / [1 – 26,7² / (800 x 9,81)], soit v_F² ≥ 1,1 et donc v_F ≥ 1,05.

Ces valeurs numériques indiquent des limites plausibles pour v_D et v_F : si après une finale sur une pente de 5% on n’arrondit qu’à un mètre au-dessus du sol, on doit approcher à moins 1,5 Vs pour rester dans une zone de confort acceptable ; et toujours dans cette hypothèse d’arrondi à un mètre du sol, on doit toucher à une vitesse suffisante (1,05 Vs au minimum) pour ne pas décrocher à cause de la ressource. Mais ces remarques ne résultent que d’une simple étude géométrique, il reste bien sûr à calculer la décélération réelle v_D – v_F pour savoir quelle vitesse v_D permet d’arriver en fin d’arrondi à la vitesse v_F souhaitée.

Décélération v_D – v_F

On part des équations :

(9) – m dV/dt = (1/2) ρ S Cx V² + m g sin γ
(26) m V² / R = (1/2) ρ S Cz V² – m g cos γ

auxquelles s’ajoutent :

• (1) θ + K = γ + α
• Cx = b + c α²
• et, si |α| inférieur ou égal à α_d – 2 : Cz = a α.

Les conditions initiales sont γ = γ_D et V = V_D, et les conditions finales γ = γ_F = 0 et V = V_F.

Comme on l’a fait au § 1 ci-dessus pour l’étude de la descente à pente constante, il est commode d’exprimer V en fonction de la vitesse de décrochage Vs, et donc de prendre la variable réduite v = V / Vs.
L’équation (11) nous donne Vs² = 2 m g / [a ρ S (α_d – 1)].

En effectuant ce changement de variable, et en considérant v comme fonction de γ, on arrive¹⁴ à l’équation :

(27) – A’ v dv/dγ = B’ v² + C’ + D’ / v²

avec

A’ = 2 m / (ρ S R k) où k = π / 180
B’ = b + 4 c m² / (ρ S a R)²
C’ = 4 c m (α_d – 1) cos γ / (ρ S a R) + a (α_d – 1) sin γ
D’ = c (α_d – 1)² cos² γ

Les apppelations A’ à D’ visent à différentier les coefficients calculés ici de ceux que nous avions rencontrés dans l’étude de la descente à pente constante (je commence à manquer de lettres…).
A défaut de pouvoir l’intégrer simplement, nous pouvons utiliser cette équation différentielle pour effectuer un calcul numérique grâce à un tableur.
Et puisque nous faisons une intégration numérique, autant la faire avec des équations aussi complètes que possible : nous pouvons donc introduire l’effet de sol en remplaçant c par c Xes où, comme nous l’avons vu au § 7 de la page « Equations de base », Xes est donné par

(14) 100 Xes = 108,29 + 24,12 ln(h / E).

Partant de conditions initiales où γ_D et v_D sont connus, on peut utiliser directement l’équation différentielle pour calculer, à l’aide d’un tableur, les valeurs de v correspondant aux valeurs successives γ_D + Δγ, γ_D + 2 Δγ, etc. En effet, si Δγ est assez petit, la vitesse (v_D + Δv) correspondant à γ_D + Δγ peut être prédite par v_D + Δv # v_D + (dv/dγ)_D Δγ.

Cette méthode de calcul est mise en oeuvre dans le fichier Excel 15m_sol (feuille de calcul « Outil ») que nous utiliserons lors de l’étude de l’atterrissage.
Cet outil donne, en fonction de la pente et de la vitesse initiales (respectivement γ_D et v_D), des conditions d’altitude, de température et de pression, et de la masse de l’avion, la valeur de la vitesse finale v_F au moment du toucher des roues. Cette vitesse ne dépend plus que de la hauteur h à laquelle commence l’arrondi. A h donné, la lecture de v_F est directe. A v_F donnée, la fonction solver permet de déterminer la valeur h correspondante.
Le seul problème, qui n’en est pas vraiment un, est de déterminer la valeur de l’incrément Δγ, ou, ce qui revient au même, le nombre de pas égal à (-γ_D) / Δγ. En pratique, il suffit d’augmenter progressivement le nombre de pas pour voir qu’avec 100 pas on a déjà un résultat très précis ; il suffit de passer à 300 ou 500 pas pour constater que le résultat (v_F ou h selon ce que l’on cherche) ne change pas.

Exemple d’application : en revenant à notre exemple numérique avec p = – 5 et un arrondi à h = 1 m, on voit (au niveau de la mer, dans des conditions normales de température et de pression, à la masse maximum à l’atterrrissage, et avec des paramètres a, b, c, etc. encore approximatifs et donc encore à optimiser pour 2 crans de volets) que si v_D = 1,48 (maximum pour une accélération acceptable pour les passagers), on touche à v_F = 1,43 ce qui est beaucoup trop. Pour toucher à v_F = 1,15, il faut arrondir à v_D = 1,22 ; ou arrondir plus haut, par exemple environ 2,70 m pour une approche à v_D = 1,3.

4.2 – Etude (à venir…) de la phase de décollage suivant la rotation

Ce sujet sera traité dans une édition ultérieure.

 

5 – Etude du roulement (au décollage ou à l’atterrissage)

5.1 – Roulement à l’atterrissage, moteur réduit

Pour des raisons que nous verrons dans l’étude détaillée de l’atterrissage (mais que l’on peut résumer par un souci de simplifier les calculs…) nous nous limiterons au cas du roulement à assiette constante.

On a vu au au § 5 de la page « Equations de base » que les équations de l’avion en vol moteur réduit (T = 0) sont :

(6) m dVx/dt = – Rx – m g sin γ avec Rx = (1/2) ρ S Cx V²
(5) m dVz/dt = Rz – m g cos γ avec Rz = (1/2) ρ S Cz V².

Lors du roulement apparait sur chaque roue en contact avec le sol une force de frottement qui s’ajoute à la traînée aérodynamique Rx et dont l’amplitude est proportionnelle à la force Fz d’appui sur la roue. En toute rigueur, on devrait donc distinguer train principal et roulette de nez, en tenant compte de la répartition des forces entre les deux. Mais nous admettrons qu’on puisse approximer la force de frottement résultante par F x ΣFz ; la littérature donne F = 0,02 pour une piste en dur et 0,1 pour une piste en herbe.

Pour tenir compte de l’éventuelle pente de la piste, il est intéressant, au moins dans un premier temps, de ne pas considérer que γ = 0 (on admettra néanmoins que hors atterrissage sur altiport, on a cos γ = 1).
Les équations deviennent :
m dVx/dt = – Rx – m g sin γ – F ΣFz
m dVz/dt = ΣFz + Rz – m g.

La trajectoire étant une droite, dVz/dt = 0 ; on peut donc simplifier les notations en écrivant dVx/dt = dV/dt.
On alors ΣFz = m g – Rz (on s’en serait douté…), et
(28) m dV/dt = – Rx – m g sin γ – F (m g – Rz)

On doit bien sûr ajouter les équations complémentaires :

• Rx = (1/2) ρ S Cx V²
• Rz = (1/2) ρ S Cz V²
• (1) θ + K = γ + α
• Cx = b + c α²
• et, si |α| inférieur ou égal à α_d – 2 : Cz = a α.

A assiette θ et pente γ constantes, on a α constant d’après l’équation (1) ; il en est donc de même de Cx et Cz.

L’exploitation de l’équation (28) donne¹ les résultats suivants :

• Pendant la décélération de v₁ à v₂, on parcourt
  Δd = [m / (ρ S)] ln[(v₁² + Q) / (v₂² + Q)] / (Cx – F Cz)
  avec Q = a (α_d – 1) (F + sin γ) / (Cx – F Cz).
• Si on a la vitesse v₁ à l’instant t₁ et la vitesse v₂ à l’instant t₂, et si Cx – F Cz > 0 (cas des faibles valeurs de F)
  t₂ – t₁ = a (α_d – 1) Vs [arc tg(v₁ / q) – arc tg(v₂ / q)] / [g q (Cx – F Cz)] avec q = Q^1/2.

 

5.2 – Roulement au décollage, pleine puissance (à venir…)

Ce sujet sera traité dans une édition ultérieure.

 

Suite conseillée : Application au DR400.