Présentation détaillée

Complément à la présentation synthétique

On abordera successivement :

1 – Préambule
2 – Notations et unités
3 – Atmosphère standard

3.1 – Pression en fonction de l’altitude
3.2 – Altitude pression Z_p
3.3 – Température standard T_std
3.4 – Densité en fonction de l’altitude – Altitude densité Z_ρ

4 – Altimètre

4.1 – But de l’altimètre
4.2 – Effet du calage de l’altimètre
4.3 – Synthèse

5 – Atmosphère non standard

5.1 – Relation entre pression p et altitude pression Z_p ou température standard T_std(Z_p)
5.2 – Densité
5.3 – Altitude densité Z_ρ et altitude pression Z_p
5.4 – Formulaire

6 – Changement d’altitude en atmosphère non standard

6.1 – Pressions Q remarquables
6.2 – Altitude Z(p) en fonction de l’altitude pression Z_p(ou de p ou de T_std)
6.3 – Altitude pression Z_p en fonction de l’altitude Z

7 – Synthèse de la démarche
8 – Conclusion

1 – Préambule

Dans la première édition de ce dossier, j’avais adopté une présentation assez linéaire : atmosphère standard, atmosphère quelconque, formules d’altimétrie et enfin, application à l’altimètre.
Mais comme l’altimètre constitue l’interface entre l’atmosphère et le pilote, il était omniprésent dans l’exposé pour n’être présenté de façon complète qu’à la fin. J’ai donc préféré, dans les éditions ultérieures, le présenter plus tôt, juste après l’atmosphère standard qui suffit à en définir les caractéristiques. Ensuite, on voit ce qu’on peut en faire en atmosphère quelconque, ce qui nécessite l’établissement de quelques formules dont on comprend mieux la raison d’être. Enfin, j’espère…

Par ailleurs, j’ai supprimé les variantes de formules qui ne résultaient que de l’application d’un simple changement de variables. Enfin, j’ai fait de plus nombreux renvois vers des notes, ce qui m’a permis de conserver des développements mathématiques qui n’ont rien de passionnant en eux-mêmes, mais qui font qu’on sait d’où vient chaque formule, et avec quelle précision elle est applicable.

2 – Notations et unités

Les unités choisies pour le présent document sont celles habituellement utilisées par les pilotes :

• Hauteur en pieds (feet, abréviation ft) et plus commodément kft (1 kft = 1000 ft).
  1 ft = 0,3048 m. Donc 1 kft # 305 m.
• Pression en hPa (hectopascals).

En tout point de l’atmosphère, on peut définir :

• l’altitude Z, hauteur mesurée par rapport au niveau de la mer, généralement en kft dans ce document ; mais on emploiera aussi d’autres unités, qui seront alors précisées ; l’étude se limite (!) à la troposphère (35 kft, soit environ 11 km)
• la pression p en hPa
• la température t en °C (celsius), ou la température absolue T = 273,15 + t en K (kelvin)
• la masse volumique de l’air ρ en kg/m³.

3 – Atmosphère standard

On appelle atmosphère standard une atmosphère répondant aux hypothèses suivantes :

• A l’altitude Z = 0 (niveau de la mer), la pression et la température valent respectivement p_0std = 1013,25 hPa et t_0std = 15 °C (ou T_0std = 273,15 + 15 = 288,15 K). Ces conditions de pression et de température sont dites standards.
• L’air est assimilé à un gaz parfait (en toute rigueur il ne l’est pas, mais il s’en rapproche d’autant plus que la pression diminue). On a alors la relation dite équation d’état : (1) p = A ρ T dans laquelle A est une constante dépendant des unités employées¹.
  Si p est en hPa, T en K et ρ en kg/m³, on a A # 2,87. Plus précisément, A = 1013,25 / (1,225 x 288,15), de sorte qu’à l’altitude Z = 0 où p = p_0std et T = T_0std, on a ρ = ρ_0std = 1,225 kg/m³.
• A une altitude Z quelconque, T = T_0std – µ Z (ou, de façon équivalente, t = t_0std – µ Z).
  La valeur de µ dépend de l’unité choisie pour Z : pour Z en km, µ = 6,50 ; pour Z en kft, µ = 6,50 x 0,3048 = 1,9812.

3.1 – Pression en fonction de l’altitude

Prenons une colonne verticale d’air calme de section S. La pression p à l’altitude Z exerce sur la surface S une force p S. De même, à l’altitude Z + dZ, la pression p + dp exerce sur la surface S une force (p + dp) S ; la différence dp S entre ces deux forces est égale (et opposée) au poids de l’air compris dans le cylindre de section S et de hauteur dZ (donc de volume S dZ), soit ρ (S dZ) g, où g est l’accélération de la pesanteur. Donc dp S = – ρ S dZ g, d’où (2) dp = – ρ g dZ.

Les équations (1) p = A ρ T et (2) conduisent² à p = p_0std [1 – (Z /Z₀)]^α avec α = g / (0,65 A) et Z₀ = T_0std / µ où µ = 1,9812 si Z₀ est en kft.
L’introduction de Z₀ est une notation commode, mais on remarque que Z₀ = 288,15 / 1,9812 = 145,442 kft est une altitude bien en dehors du domaine de validité de notre modèle (et pour cause, puisqu’à cette altitude on aurait dans notre modèle p = 0 et T = 0 K).

Si on hésite sur l’ordre d’entrée des facteurs pour la touche y^x de la calculatrice on peut toujours calculer [1 – (Z / Z₀)]^α comme exp{α ln[1 – (Z /Z₀)]}. Les deux expressions qui ont le même log népérien sont bien égales.

Le calcul précis avec g = 9,80665 m/s² donne, pour ceux que cela intéresse et parce qu’on le trouve dans la littérature (exemple : Aviation Formulary de Ed Williams), α = 5,2558797 et 1 / Z₀ = µ / T_0std = 1,9812 / 288,15 = 0,0068755856 avec Z en kft.
En pratique, on peut prendre α = 5,255 et 1 / Z₀ = 0,00688 ; l’arrondi par défaut de α compense alors l’arrondi par excès de 1 / Z₀, et l’erreur relative sur p ne dépasse pas 0,1 %.

Remarque

Dans l’établissement de l’équation (2), on a considéré que g est constante quand Z varie, ce qui n’est qu’une approximation. Si on approfondit³, on voit que cette approximation revient à confondre l’altitude réelle Z et l’altitude dite géopotentielle, notée H. L’erreur qui en résulte, et qui croit avec Z, n’est que d’environ 60 ft pour Z = 11 km. On peut donc très  légitimement admettre cette hypothèse simplificatrice.

3.2 – Altitude pression Z_p

De l’expression de p en fonction de Z, on tire 1 – (Z / Z₀) = (p / p_0std)^1/α et donc Z = Z₀ [1 – (p / p_0std)^1/α].
On appelle altitude pression, cette valeur Z_p = Z₀ [1 – (p / p_0std)^1/α] fonction de p.
En atmosphère standard, Z_p = Z et cette notion n’apporte rien. Elle sera par contre utile en atmosphère non standard : pour une pression p donnée en atmosphère quelconque, c’est l’altitude à laquelle on aurait, en atmosphère standard, une pression égale à p.

L’altitude pression est une altitude, comme l’arc tangente est un arc, pour ceux que l’analogie aide. Ou, pour les autres, comme la bière pression est une bière, mais là le côté fonction réciproque a disparu…

Calcul approché de Z_p quand p # p_0std

Un développement limité de Z_p = Z₀ [1 – (p / p_0std)^1/α] conduit⁴ à la formule approchée :
Z_p # 0,0276 (p_0std – p) avec Z_p en kft et p en hPa.
Cette formule est applicable aux pressions comprises dans la fenêtre de calage de l’altimètre (950 à 1050  hPa) avec une erreur maximum inférieure à 30 ft aux extrémités de la fenêtre de calage. Pour l’étendre à des altitudes plus élevées il faut la modifier en Z_p # 0,028 (p_0std – p) qui constitue alors une meilleure approximation aux pressions plus basses ; on retrouve les classiques 28 ft/hPa.

3.3 – Température standard T_std

A toute pression p on sait associer une altitude pression Z_p. A cette dernière, on peut associer une température absolue dite standard T_std = T_0std – µ Z_p = µ (Z₀ – Z_p).
En atmosphère standard, Z_p = Z et T_std = T : à toute altitude, la température est standard. On devine que, là encore, cette notion ne sera utile qu’en atmosphère non standard : pour une pression p donnée en atmosphère quelconque, c’est la température qu’on aurait, en atmosphère standard, là où règne une pression égale à p.

3.4 – Densité en fonction de l’altitude – Altitude densité Z_ρ

De (1) ρ = p / (A T) et donc ρ_0std = p_0std / (A T_0std) on déduit
ρ / ρ_0std = (p / p_0std) (T_0std / T).
Et comme (p / p_0std) = (T / T_0std)^α on a ρ / ρ_0std = (T / T_0std)^α-1
ou encore ρ = ρ_0std [1 – (Z / Z₀)]^α-1 avec Z₀ = T_0std / µ (µ selon l’unité choisie pour Z) et α = g / (0,65 A)

De l’expression de ρ en fonction de Z, on tire réciproquement [1 – (Z / Z₀)] = (ρ / ρ_0std)^1/(α-1) et donc Z = Z₀ [1 – (ρ / ρ_0std)^1/(α-1)].
On appelle altitude densité, cette valeur Z_ρ = Z₀ [1 – (ρ / ρ_0std)^1/(α-1)] fonction de p.
En atmosphère standard, Z_ρ = Z (= Z_p) et cette notion n’apporte rien. Elle sera par contre utile en atmosphère non standard : pour une masse volumique ρ donnée en atmosphère quelconque, c’est l’altitude à laquelle on aurait, en atmosphère standard, une masse volumique égale à ρ ou, de façon équivalente, une densité égale à ρ / ρ_0std.

4 – Altimètre

4.1 – But de l’altimètre

L’étude de l’atmosphère standard nous permet maintenant d’associer à toute pression p une altitude pression Z_p = Z₀ [1 – (p / p_0std)^1/α] et donc une température standard T_std = µ (Z₀ – Z_p). On a donc 3 paramètres, p, Z_p et T_std qui se correspondent deux à deux par des fonctions monotones strictement croissantes ou décroissantes.
On sait donc « graduer  » l’axe vertical de l’atmosphère standard de trois façons équivalentes : en pressions (p en hPa), en altitudes pressions (Z_p en kft) et en températures standards (T_std en K).

En atmosphère quelconque (non standard) il suffit que la pression soit une fonction monotone de l’altitude réelle Z pour qu’on puisse se « situer verticalement » par la seule mesure de p à l’aide d’un baromètre. On peut graduer le baromètre en hPa (mesure directe de p) ou en kft (mesure directe de Z_p, et donc mesure indirecte de p). Ou en K, mais ça, je ne l’ai jamais vu dans le commerce…

L’altimètre est justement ce baromètre indiquant Z_p. Pour être exact, il faut préciser que le baromètre possède une « fenêtre de calage » dans laquelle on peut afficher une pression que nous noterons p_c (comme « pression de calage ») comprise entre 950 et 1050 hPa, et que l’altimètre n’affiche Z_p que s’il est « calé à 1013,25 », c’est-à-dire si p_c = p_0std = 1013,25 hPa. Le calage 1013 est aussi appelé calage standard.
Dans ce cas, et si par hasard l’atmosphère est standard, l’altimètre indique l’altitude réelle puisqu’on a alors Z = Z_p. C’est ce qui fait dire que « l’altimètre suppose que l’atmosphère est standard ». Mais en fait, c’est benoitement un baromètre qui en tant que tel ne suppose rien… contrairement à son utilisateur qui, voyant affichée une altitude, peut croire de bonne foi que c’est la bonne.
Retenons donc qu’en général (atmosphère quelconque) le propre d’un altimètre est de n’indiquer que rarement l’altitude réelle. Mais ça arrive, on verra quand.

4.2 – Effet du calage de l’altimètre

On vient de voir que si p_c = p_0std, l’altimètre indique Z_ind = Z_p = Z₀ [1 – (p / p_0std)^1/α].
La question est de savoir ce qu’il indique quand la pression de calage p_c est quelconque.

En manipulant le bouton de réglage de p_c, on constate que quand p_c = p (pression du lieu où est situé l’altimètre), Z_ind = 0.

Sur le plan purement théorique, deux options sont alors possibles :

• Soit l’altimètre effectue une simple translation pour décaler le zéro de l’affichage : Z_ind = Z_p – Z_pc où Z_p est l’altitude pression correspondant à p et Z_pc l’altitude pression correspondant à p_c.
• Soit il possède un mécanisme qui, à la pression p, associe Z_ind = Z₀ [1 – (p / p_c)^1/α].

Seule la première hypothèse conduit à une indication aisément exploitable⁵. C’est confirmé par l’examen de la réalisation mécanique de l’altimètre : on voit qu’on a bien affaire à un décalage du zéro de l’affichage et non à un réglage d’un facteur multiplicatif appliqué à la pression.

4.3 – Synthèse

L’altimètre est un baromètre gradué en altitudes pressions.

Une fenêtre de calage permet d’afficher une pression p_c comprise entre 950 et 1050 hPa.

L’altimètre mesurant une pression p affiche une valeur Z_ind = Z_p – Z_pc où Z_p est l’altitude pression correspondant à p et Z_pc l’altitude pression correspondant à p_c.

Si p_c = p_0std = 1013,25 hPa (calage standard), on a Z_pc = 0 et l’altimètre indique donc l’altitude pression correspondant à la pression p mesurée.

En atmosphère standard où Z = Z_p, et seulement dans ce cas, on peut remplacer dans ce qui précède « altitude pression » par « altitude ».

5 – Atmosphère non standard

Les conditions, dites standards, de pression et de température correspondent à un cas moyen, qui par application de la loi de Murphy ne se produit jamais les jours où on vole…

Il nous faut donc définir une « atmosphère non standard sauf que quand même un peu« . On va pour cela faire des hypothèses inspirées de celles de l’atmosphère standard :

• En atmosphère non standard, l’air reste un gaz parfait. L’équation d’état (1) p = A ρ T reste donc applicable.
• On fait pour l’instant l’hypothèse (la suite montrera qu’elle est légitime) que la pression p dans cette atmosphère est une fonction strictement monotone (en l’occurrence décroissante) de l’altitude réelle Z. Il est alors possible de repérer la position verticale dans cette atmosphère par la valeur de p, ou de façon équivalente par la valeur de l’altitude pression Z_p correspondant à p, ce qui est plus commode si on vole avec un altimètre plutôt qu’avec un tube de Torricelli renversé sur sa cuve de mercure…
  On prendra donc comme référence de position verticale la surface isobare p = p_0std à laquelle correspond Z_p = 0 (qu’en l’occurrence on peut noter plus commodément Z₁₀₁₃ = 0). Cette surface n’est en général plus confondue avec le niveau de la mer comme c’était le cas dans l’atmosphère standard.
  Il importe de bien retenir qu’on ne gradue pas l’axe vertical en altitudes réelles mais en pressions auxquelles on associe par commodité des altitudes fictives qui correspondent au cas particulier de l’atmosphère standard.

• Au § 3.3, on a défini la température standard à l’altitude pression Z_p : T_std(Z_p) = µ (Z₀ – Z_p).
  On pose comme dernière hypothèse que l’écart de température Δt entre température standard et température réelle est constant quelle que soit l’altitude pression :
  T(Z_p) = T_std(Z_p) + Δt ; on dit simplement qu’on est en température standard + Δt.
  S’il n’y a pas de risque d’ambiguïté entre deux altitudes pressions, on peut simplifier les notations et écrire :
  T = T_std + Δt.
  On a donc à toute altitude pression Z_p
  T(Z_p) = T_0std – µ Z_p + Δt = µ (Z₀ – Z_p) + Δt
  Appliquée au niveau de référence (Z₁₀₁₃ = 0), cette hypothèse se traduit par T(Z₁₀₁₃) = T_0std – µ Z₁₀₁₃ + Δt = T_0std + Δt.

5.1 – Relation entre pression p et altitude pression Z_p ou température standard T_std(Z_p)

Par définition de Z_p, p = p_0std [1 – (Z_p / Z₀)]^α avec Z₀ = T_0std / µ
Donc p = p_0std [(T_0std – µ Z_p) / T_0std ]^α
p = p_0std (T_std / T_0std)^α
et réciproquement T_std = T_0std (p / p_0std)^1/α

5.2 – Densité

L’air en atmosphère quelconque étant supposé rester un gaz parfait, l’équation d’état (1) donne ρ = p / (A T) et donc ρ_0std = p_0std / (A T_0std).

On en déduit avec p = p_0std (T_std / T_0std)^α :
ρ / ρ_0std = (p / p_0std) (T_0std / T) = (T_std / T_0std)^α (T_0std / T)
ρ / ρ_0std = (T_std / T_0std)^α-1 (T_std / T_0std) (T_0std / T)

ρ = ρ_0std (T_std / T_0std)^α-1 (T_std / T)
ou encore ρ = ρ_0std [1 – (Z_p / Z₀)]^α-1 (T_std / T) avec Z₀ = T_0std / µ

Si Δt = 0, (T_std / T) = 1 : on retrouve l’expression établie en atmosphère standard ρ / ρ_0std = (T_std / T_0std)^α-1.

5.3 – Altitude densité Z_ρ et altitude pression Z_p

Par définition, Z_ρ = Z₀ [1 – (ρ / ρ_0std)^1/(α-1)].
Donc Z_ρ / Z₀ = 1 – (T_std / T_0std) (T_std / T)^1/(α-1)
Par ailleurs, on a T_std = T_0std [1 – (Z_p / Z₀)] ; donc Z_p / Z₀ = 1 – (T_std / T_0std)

Par différence on obtient
(Z_ρ – Z_p) / Z₀ = 1 – (T_std / T_0std) (T_std / T)^1/(α-1) – 1 + (T_std / T_0std)
(Z_ρ – Z_p) / Z₀ = (T_std / T_0std) [1 – (T_std / T)^1/(α-1)] Z_ρ = Z_p + Z₀ (T_std / T_0std) [1 – (T_std / T)^1/(α-1)] Or Z₀ = T_0std / µ
Donc Z_ρ = Z_p + (T_std / µ) [1 – (T_std / T)^1/(α-1)] Rappel : α = g / (0,65 A) ; ce qui donne 1 / (α – 1) = 0,234969

On trouve cette formule dans la littérature. Comme elle n’est pas particulièrement simple, on peut penser que ce n’est pas un hasard : cela tend à conforter les hypothèses de base de notre modèle d’atmosphère quelconque.

Formule approchée⁶ (source : Aviation Formulary de Ed Williams) : Z_ρ # Z_p + 0,1186 Δt
On trouve aussi la formule plus commode en calcul mental : Z_ρ # Z_p + 0,12 Δt .

Application numérique donnée par le même auteur :

On donne Z_p = 8 kft et t = 18 °C ; soit T = 273,15 + 18 = 291,15 K
T_std = 273,15 + 15 – 1,9812 x 8 = 273,15 + 15 – 15,85 = 272,30 K ; donc Δt = T – T_std = 18 + 0,85 = 18,85 K.
Z_ρ = 8 + (272,30 / 1,9812) [1 – (272,30 / 291,15)^0,234969] = 10,145 kft

Formule approchée : Z_ρ # 8 + 0,1186 x 18,85 = 10,236 kft ; soit un écart de 91 ft.

5.4 – Formulaire

Le tableau ci-après récapitule les formules essentielles.

6 – Changement d’altitude en atmosphère non standard

Soit p la pression régnant à un niveau quelconque de l’atmosphère. Il lui correspond une altitude pression Z_p et une altitude réelle Z(p).
On sait, par définition de l’altitude pression, que Z_p = Z₀ [1 – (p / p_0std)^1/α] et on a vu que si p est dans la fenêtre de calage de l’altimètre, Z_p # 0,0276 (p_0std – p)

Soit Q la pression régnant à un niveau particulier de l’atmosphère. Il lui correspond une altitude pression Z_Q et une altitude réelle Z(Q). Z_Q est donnée par les formules ci-dessus avec p = Q.

Il sera commode de poser ΔZ_p = Z_p – Z_Q et ΔZ = Z(p) – Z(Q).

6.1 – Pressions Q remarquables

Nous avons déjà rencontré le cas Q = p_0std = 1013,25 hPa (Z₁₀₁₃ = 0). Nous allons définir maintenant les pressions QFE, QNH et QFF.
On voit que Q peut désigner une pression à laquelle ne correspond aucune appellation Qxx, puisque c’est le cas pour Q = 1013. Inversement, un Qxx peut être tout autre chose qu’une pression (par exemple, le QFU indique l’orientation de la piste en service).

Le QFE est la pression atmosphérique à l’altitude de l’aérodrome donnée par la carte VAC. Si on note Z_AD cette altitude réelle de l’aérodrome, la définition du QFE équivaut à dire que Z(QFE) = Z_AD, puisque Z(QFE) est la notation choisie pour l’altitude réelle où règne la pression QFE⁷.

Donc un altimètre calé au QFE (p_c = QFE) et placé au niveau de l’aérodrome (p = QFE) affiche Z_p – Z_pc = Z_QFE –  Z_QFE = 0.
C’est pourquoi on définit aussi le QFE comme étant la pression qu’il faut afficher dans la fenêtre de calage de l’altimètre pour qu’il indique 0 à l’altitude de l’aérodrome. Encore faut-il pouvoir : sur un aérodrome situé en altitude, le QFE peut être inférieur à 950 hPa et donc en dehors de la fenêtre de calage.

Comme le calage au QFE n’est pas toujours possible, on lui préfère le calage au QNH que nous allons voir. On peut aussi utiliser le QNE qui n’est pas une pression mais désigne l’altitude pression du QFE (décidément, rien n’est simple…) : un altimètre calé à 1013 affiche le QNE à l’altitude de l’aérodrome.

Nota : signification de la pression en hPa indiquée par la carte VAC de l’aérodrome, sous l’altitude en ft.
Il s’agit de la valeur de p_0std – QFE en atmosphère standard. Par exemple, à Mende (LFNB) : 3362 ft (117 hPa) ; le QFE en atmosphère standard est 1013 – 117 = 896 hPa ; il est en dehors de la fenêtre de calage, et on constate que la formule Z_Q # 0,0276 (p_0std – Q) commence à ne plus être applicable puisque 3362 / 117 = 28,7 ft/hPa.

Le QNH est la pression qu’il faut afficher dans la fenêtre de calage de l’altimètre pour qu’il indique l’altitude réelle de l’aérodrome (Z_AD). Ce qui, contrairement au QFE, est toujours possible. Nous verrons pourquoi au § 6.2.
Puisque p_c = QNH et p = QFE, l’altimètre affiche Z_p – Z_pc = Z_QFE – Z_QNH ; donc la définition du QNH équivaut à Z_QFE – Z_QNH = Z_AD ; et on a vu que Z_AD = Z(QFE).

Si par hasard la température est standard (Δt = 0), nous verrons [formule (3 bis) du § 6.2] que la différence entre les altitudes pressions affichée par l’altimètre est égale à la différence entre les altitudes réelles correspondantes.
Donc Z_QFE – Z_QNH = Z(QFE) – Z(QNH)
Les deux expressions ainsi trouvées de Z_QFE – Z_QNH permettent d’écrire que Z(QNH) = 0. Dans ce cas particulier de température standard, le QNH correspond à la pression au niveau de la mer.

Mais dans le cas général (température non standard), ce n’est pas vrai : l’altitude réelle où règne une pression égale au QNH se situe un peu au-dessus ou un peu en-dessous du niveau de la mer. Qui, lui, est à une pression appelée QFF.
Cette définition équivaut à Z(QFF) = 0. En déchiffrant, ça donne : l’altitude réelle où règne la pression QFF est 0 (niveau de la mer). C’est plus clair en inversant : au niveau de la mer (altitude réelle 0) règne une pression égale à QFF. Et en moins clair, mais à titre d’entraînement pour parler le « vocabulaire de l’altimètre » : l’altitude pression au niveau de la mer est Z_QFF.
Le QFF varie typiquement entre 990 et 1040 hPa, et entre donc toujours dans la fenêtre de calage de l’altimètre. C’est d’ailleurs fait pour…

6.2 – Altitude Z(p) en fonction de l’altitude pression Z_p (ou de p ou de T_std)

Les équations (1) et (2) établies au § 3 dans le cas de l’atmosphère standard avec, pour seule hypothèse, que l’air soit un gaz parfait, sont toujours applicables. Mais maintenant (en atmosphère non standard) il faut prendre T = µ (Z₀ – Z_p) + Δt.

Elles conduisent⁸ à
(3) Z(p) = Z(Q) + (Z_p – Z_Q) – (Δt / µ) ln[(Z₀ – Z_p ) / (Z₀ – Z_Q)]
ou, avec ΔZ_p = Z_p – Z_Q et ΔZ = Z(p) – Z(Q)
(3 bis) ΔZ = ΔZ_p – (Δt / µ) ln[1 – ΔZ_p / (Z₀ – Z_Q)]

Nota : Les variables p, Z_p et T_std sont liées et peuvent être utilisées indifféremment selon les paramètres connus ou cherchés :

• T_std(Z_p) = µ (Z₀ – Z_p) et réciproquement Z₀ – Z_p = T_std(Z_p) / µ
  En posant ΔT_std = T_std(Z_p) – T_std(Z_Q), on a ΔT_std = µ (Z₀ – Z_p) – µ (Z₀ – Z_Q) = – µ ΔZ_p
  et réciproquement, ΔZ_p = – ΔT_std / µ
• De Z_p = Z₀ [1 – (p / p_0std)^1/α] et donc Z_Q = Z₀ [1 – (Q / p_0std)^1/α] on tire [(Z₀ – Z_p ) / (Z₀ – Z_Q)] = (p / Q)^1/α
  et ΔZ_p = Z₀ (Q^1/α – p^1/α) / p_0std^1/α

On peut donc écrire (3) et (3 bis)

• sous forme d’expressions équivalentes en remplaçant
  ΔZ_p par – ΔT_std / µ
  et [(Z₀ – Z_p ) / (Z₀ – Z_Q)] ou [1 – ΔZ_p / (Z₀ – Z_Q)] par [1 + ΔT_std / T_std(Z_Q)] ou [T_std(Z_p) / T_std(Z_Q)]
• ou sous la forme :
  (4) Z(p) = Z(Q) + Z₀ (Q^1/α – p^1/α) / p_0std^1/α – [Δt / (α µ)] ln(p / Q)

Formule magique (M)

En partant de (3) on arrive⁹ à la formule
(M) Z(p) – Z(Q) # (Z_p – Z_Q) (T / T_std) ; avec T = T_std + Δt
ou de façon équivalente : (M bis) ΔZ # ΔZ_p (T / T_std)

J’ai désigné cette formule par (M) pour rappeler qu’elle est magique ; on va voir en quoi elle l’est.

Déjà, ça commence bien, elle est ambigüe. Prend-on T_std = T_std(Z_Q) ou T_std = T_std(Z_p) ?
Réponse : ça dépend… Ça dépend de la précision recherchée et de l’amplitude de ΔZ et ΔZ_p.
Pour une précision maximum, il faut prendre T_std « à mi-parcours », à savoir T_std = T_M définie par
T_M = T_std[(Z_Q + Z_p) / 2] = T_std[Z_Q + (ΔZ_p / 2)].

En effet, la démonstration (note 9 ci-dessus) de la formule (M) établit (en supposant que Δt reste compris entre – 25°C et + 25°C) qu’elle est applicable dans toute la troposphère (35 kft) avec une erreur maximum inférieure à 25 ft si (et seulement si) on prend T_std = T_M.

Cette démonstration fournit aussi le calcul de l’erreur que l’on commet si au lieu de prendre T_std = T_M on prend T_std = T_std(Z_p) ou T_std = T_std(Z_Q)].
Ce calcul appliqué entre le niveau de la mer et le FL 120 montre que l’erreur maximum sur le calcul de ΔZ est de l’ordre de 50 ft pour Δt = + ou – 25°C, soit 20 ft par tranche de 10°C de Δt.
Donc en pratique, la formule (M) est applicable pour les pressions p et Q prises entre le niveau de la mer et le FL 120, en évaluant T_std n’importe où entre Z_p et Z_Q ; on peut même prendre T_std un peu plus haut que le plus haut, ou un peu plus bas que le plus bas. C’est bien magique !
Quand la différence d’altitudes pressions Z_p – Z_Q diminue, la précision augmente, en gros proportionnellement.

Il est également intéressant d’approfondir le cas où Q correspond au QNH ou au QFF. Un calcul simple montre (note 9 ci-dessus) que dans ce cas, on a la même erreur maximum de 50 ft (pour Δt = + ou – 25°C) en prenant T_std = T_0std; à condition cependant de limiter l’application de cette approximation au FL 100.
Il est alors commode, pour un calcul approché, d’adopter¹⁰ une correction de 100 ft par tranche de 3000 ft et de 10°C.

Applications du calcul de Z(p)

Application directe de la formule (3) : Q = QFF ou QFE

• Q = QFF
  Le QFF étant dans la fenêtre de calage, Z_QFF # 0,0276 (p_0std – QFF)
  Comme on connait effectivement Z(Q) = Z(QFF) = 0 par définition du QFF, on a :
  (5) Z(p) = (Z_p – Z_QFF) – (Δt / µ) ln[(Z₀ – Z_p ) / (Z₀ – Z_QFF)] Remarque : si p = QFF, on a bien Z(QFF) = 0 quelle que soit la valeur de Δt.
• Q = QFE
  Si le QFE est dans la fenêtre de calage, Z_QFE # 0,0276 (p_0std – QFE)
  Sinon, Z_QFE = Z₀ [1 – (QFE / p_0std)^1/α] Comme on connait effectivement Z(Q) = Z(QFE) = Z_AD, par définition du QFE, on a :
  (6) Z(p) = Z_AD + (Z_p – Z_QFE) – (Δt / µ) ln[(Z₀ – Z_p) / (Z₀ – Z_QFE)] Remarque : si p = QFE, on a bien Z(QFE) = Z_AD quelle que soit la valeur de Δt.

Cas s’y ramenant : QNE connu ou Q = QNH

• QNE connu
  Comme par définition QNE = Z_QFE, sa donnée permet d’appliquer directement la formule (6)
  Z(p) = Z_AD + (Z_p – QNE) – (Δt / µ) ln[(Z₀ – Z_p ) / (Z₀ – QNE)]
• Q = QNH
  Le QNH étant dans la fenêtre de calage, Z_QNH # 0,0276 (p_0std – QNH)
  Nous n’avons pas (encore) d’information sur Z(QNH). Par contre, nous savons, par définition du QNH, que Z_QFE – Z_QNH = Z_AD
  Donc nous pouvons calculer Z_QFE = Z_QNH + Z_AD et appliquer la formule (6)
  Z(p) = Z_AD + Z_p – Z_QNH – Z_AD – (Δt / µ) ln[(Z₀ – Z_p) / (Z₀ – Z_QNH – Z_AD)] (7) Z(p) = Z_p – Z_QNH – (Δt / µ) ln[(Z₀ – Z_p ) / (Z₀ – Z_QNH – Z_AD)] En particulier, pour p = QNH, on a :
  Z(QNH) = Z_QNH – Z_QNH – (Δt / µ) ln[(Z₀ – Z_QNH) / (Z₀ – Z_QNH – Z_AD)] Z(QNH) = (Δt / µ) ln[(Z₀ – Z_QNH – Z_AD) / (Z₀ – Z_QNH)] (8) Z(QNH) = (Δt / µ) ln[1 – Z_AD / (Z₀ – Z_QNH)]Si on applique la formule (3)
  Z(p) = Z(QNH) + (Z_p – Z_QNH) – (Δt /µ) ln[(Z₀ – Z_p ) / (Z₀ – Z_QNH)] avec la valeur de Z(QNH) donnée par (8), on retrouve bien sûr la formule (7).

En conclusion, le calcul de Z(p) est immédiat si on connait le QFF, un peu moins simple si on a le QFE, et plus compliqué si on n’a que le QNH (sauf pour un aérodrome au niveau de la mer où QFF = QNH). Par application directe de la loi de Murphy à l’aviation, on a toujours le QNH, souvent le QFE et jamais le QFF (!).

Calcul de Z(p) à partir de l’indication de l’altimètre

On suppose que Q peut être affiché dans la fenêtre de calage. L’altimètre indique alors Z_ind = Z_p – Z_Q = ΔZ_p.
La formule (3 bis) ΔZ = ΔZ_p – (Δt / µ) ln[1 – ΔZ_p / (Z₀ – Z_Q)] qui s’écrit Z(p) – Z(Q) = Z_ind – (Δt / µ) ln[1 – Z_ind / (Z₀ – Z_Q)] montre que le calcul de Z(p) à partir de l’indication de l’altimètre nécessite, en toute rigueur, le calcul de Z_Q et de la fonction logarithme.

Sauf à faire un calcul approché, auquel cas il est plus commode de prendre la formule (M) qui donne directement, et avec une précision que nous connaissons :
Z(p) – Z(Q) # Z_ind [1 + (Δt / T_0std)] puisqu’on est dans le cas où l’approximation T_std = T_0std est légitime.
Avec la notation k = Δt / T_0std on a Z(p) – Z(Q) # (1 + k) Z_ind ; et nous avons vu (note 10 ci-dessus) que k # 100 ft par tranche de 3000 ft et de 10°C.

En résumé, la hauteur réelle au-dessus de Z(Q) s’obtient en appliquant à Z_ind le facteur correctif de la température (1 + k) avec k = Δt / T_0std # 100 ft par tranche de 3000 ft et de 10°C.

Application directe : Q = QFF ou QFE (si QFE > 950 hPa)

• Q = QFF
  L’altimètre étant calé au QFF, on a :
  Z(p) # Z(QFF) + (1 + k) Z_ind
  avec Z(QFF) = 0 par définition du QFF.
  L’altimètre fournit donc, après correction de la température, l’altitude réelle Z.Remarque : cette hypothèse de calage au QFF est juste à titre d’exercice, car on vole calé à 1013 ou au QNH ; avant, on volait aussi au QFE maintenant délaissé (à juste titre) au profit du QNH. Mais je n’ai pas connaissance qu’on vole au QFF.
• Q = QFE supposé supérieur à 950 hPa
  L’altimètre étant calé au QFE, on a :
  Z(p) # Z(QFE) + (1 + k) Z_ind
  avec Z(QFE) = Z_AD par définition du QFF.
  L’altimètre fournit donc, après correction de la température, la hauteur réelle Z – Z_AD au-dessus (ou au-dessous…) du terrain.

Cas s’y ramenant : QNE connu ou Q = QNH

• QNE connu
  Puisque QNE = Z_QFE, on peut calculer QFE = p_0std [1 – (QNE / Z₀)]^α ou, de façon approchée QFE # p_0std – (QNE / 0,0276).
  Ceci permet de se caler au QFE. En théorie du moins car si on passe le QNE, mieux vaut l’utiliser directement, et c’est même indispensable si le QFE est en dehors de la fenêtre de calage.Le fait d’utiliser le QNE permet donc en fait une approche de l’aérodrome au calage 1013.
  L’altimètre indique alors Z(p) # Z(1013) + (1 + k) Z_ind avec Z_ind = Z_p – Z₁₀₁₃ = Z_p puisque Z₁₀₁₃ = 0.
  A l’altitude de l’aérodrome, p = QFE, Z_ind = Z_p = QNE et Z(p) = Z_AD.
  Donc Z_AD = Z(1013) + (1 + k) QNE
  Par différence, on a Z(p) – Z_AD = (1 + k) (Z_ind – QNE) : c’est le pilote qui effectue mentalement la soustraction Z_ind – QNE pour avoir (après correction de la température, mais ça m’étonnerait en finale…), la hauteur réelle Z – Z_AD au-dessus du terrain.C’est donc finalement très simple : il y a deux façons d’effectuer la différence Z_p – Z_QFE : la confier à l’altimètre calé au QFE, ou la confier au pilote qui lit Z_p sur l’altimètre calé à 1013 et en retranche le QNE (Z_QFE). La seule conclusion de tout cela est que la plage de réglage du pilote est supérieure à celle de l’altimètre 🙂

• Q = QNH
  L’altimètre étant calé au QNH, on a :
  Z(p) # Z(QNH) + (1 + k) Z_ind
  A l’altitude de l’aérodrome, p = QFE, Z(p) = Z_AD et Z_ind = Z_p – Z_QNH = Z_QFE – Z_QNH = Z_AD (par définition du QNH)
  Donc Z_AD # Z(QNH) + (1 + k) Z_AD
  Z(QNH) # – k Z_AD.
  Remarque : la formule (8) donne la valeur exacte de Z(QNH) mais n’est pas utile en pratique.
  La valeur de k fait que Z(QNH) reste de l’ordre de quelques centaines de ft, même pour les aérodromes d’altitude.
  On a vu à propos du calage (théorique) au QFF que Z(p) # (1 + k) (Z_p – Z_QFF); appliqué à p = QNH on obtient Z(QNH) # (1 + k) (Z_QNH – Z_QFF) ; et donc Z_QNH – Z_QFF # (1 – k) Z(QNH).
  Donc la différence Z_QNH – Z_QFF reste du même ordre de grandeur que Z(QNH). Ceci explique que si le QFF varie typiquement de 990 à 1040 hPa, comme nous l’avons vu lors de sa définition au § 6.1, le QNH qui n’en diffère que de quelques hPa entre aussi dans la fenêtre de calage de l’altimètre.
  Supposons que, dans ma région Languedoc Roussillon, je vole calé au QNH donné par Montpellier (LFMT – Z_AD = 17 ft) vers Mende (LFNB – 3362 ft) et que je prenne le tour de piste à 3362 + 1000 # 4400 ft « QNH » soit quasiment 4400 ft QFE.
  Si ce jour là Δt = – 20°C (rare à Montpellier, mais supposons), je suis en fait à une altitude réelle de 4400 ft – 100 ft x 2 x (4400 / 3000) (puisqu’il y a 2 tranches de 10°C) soit environ 4400 – 290 ft. « Plus chaud, plus haut » dit l’adage aéronautique ; donc, en l’occurrence,  plus froid, plus bas! : je suis pile à l’altitude du tour de piste des planeurs et ULM, heureusement rares par 15 – 3,5 x 2 – 20 = – 12°C…
  Si au contraire Mende contacté par radio me passe le QNH local, qui est donc décalé par rapport à mon QNH « régional » d’environ + 100 ft x 2 x (3400 / 3000) ft soit + 225 ft, je me présente à la bonne altitude.Notons que je ne suis pas faux de 290 – 225 = 65 ft car l’altitude du tour de piste est donnée en altitude pression, et à cette température les 1000 ft d’altitude pression font 1000 ft – 100 ft x 2 x (1000 / 3000) # 935 ft de hauteur réelle. Bien sûr, cette précision à 65 ft près est inutile, et qui plus est illusoire s’agissant de calculs approchés, mais il s’agit de comprendre les mécanismes.

Cette dernière remarque n’est qu’une illustration d’un point plus général qu’il me parait utile d’expliciter ci-après.

En pratique, pas de zèle intempestif

La construction de ce modèle d’atmosphère m’a beaucoup intéressé pour comprendre les phénomènes en jeu, et pour m’en servir en connaissance de cause (probablement peu en vol, mais au sol lors de la préparation de certaines « navs »). Mais la connaissance de ce modèle ne doit pas conduire à faire du zèle et passer du temps à calculer, en vol, des altitudes corrigées.

Pour de nombreuses raisons évidentes : rester « devant son avion » et regarder dehors (en plus, c’est beau !) plutôt qu’avoir le nez dans une calculette ou une table d’atmosphère standard, ne pas s’embêter pour des « pouillèmes » alors qu’on est en VFR (k # 100 ft par tranche de 3000 ft et de 10°C, donc pour arriver à des corrections de centaines de ft, il faut à la fois voler assez haut et dans des conditions de température « significativement non standards »), etc.

Mais aussi pour une raison plus subtile : c’est que le calage de l’altimètre est avant tout une convention simple qui permet à tous de se coordonner avec un minimum d’erreurs. Si le contrôle me demande de voler à 3000 ft QNH pour effectuer un croisement en sécurité, ça veut dire « QNH affiché dans la fenêtre et vérifié » (compte tenu de l’éventuelle erreur de l’instrument notée lors des vérifications au sol) et « les aiguilles de l’altimètre indiquant 3000 ft ». Sachant qu’en sens inverse, si l’autre avion fait de même à au moins 500 ft d’écart, ça passe sans problème.
Mais je serais un pilote dangereux si, dans les mêmes conditions, je décidais de voler calé au QFF avec l’altimètre à 2800 ft pour être « vraiment à 3000 ft » malgré la chaleur (!).
De même, si on doit voler au FL 65, il est pertinent de vérifier, lors de la préparation du vol, qu’en fonction des conditions du jour (QNH et Δt) ça passe bien au-dessus de l’altitude de sécurité (et pas seulement au-dessus de la surface…). Mais pour la même raison que ci-dessus, une fois en vol au FL 85, c’est 8500 ft à l’altimètre calé à 1013, il n’y a surtout pas de correction de température à faire.

6.3 – Altitude pression Z_p en fonction de l’altitude Z

Exprimer Z_p (ou ΔZ_p = Z_p – Z_Q) en fonction de Z(p) [ou ΔZ = Z(p) – Z(Q)] revient à rechercher les fonctions réciproques de celles données par la formule exacte (3) et la formule approchée (M) ainsi que leurs variantes.

Réciproque de la formule approchée (M)

La formule (M) établie au § 6.2 étant magique, elle est bien sûr réversible ! Plus sérieusement, elle s’écrit sous la forme :

(M) Z_p – Z_Q # [Z(p) – Z(Q)] (T_std / T) ; avec T = T_std + Δt
ou de façon équivalente, (M bis) ΔZ_p # ΔZ T_std / T

On sait que la formule (M) est applicable dans toute la troposphère (35 kft) si (et seulement si) on prend T_std = T_M à mi-parcours.
Malheureusement, connaitre le point à mi-parcours impose de connaitre ΔZ_p qui est précisément la valeur cherchée. Cela nécessite au moins une itération. Mieux vaut alors, si on veut plus de précision, ne pas employer la formule (M) mais les formules plus précises qui seront établies ci-après.

Par contre, si on restreint son utilisation à des altitudes comprises entre le niveau de la mer et le FL 120, on a vu au § 6.2 que T_std peut être évaluée n’importe où entre Z_p et Z_Q.

En toute rigueur, l’erreur sur ΔZ_p n’est pas égale à l’erreur sur ΔZ_p. Mais si on reprend le calcul d’erreur fait dans le premier cas, on trouve (calcul ne méritant même pas une note de renvoi…) des résultats quasiment identiques, qui confirment les conclusions du § 6.2 quant à
l’utilisation de la formule (M) et la précision qu’on peut en attendre.

Réciproque de la formule exacte (3)

La formule réciproque de (3) établie au § 6.2, ou de ses autres formes équivalentes comme
ΔZ = ΔZ_p – (Δt / µ) ln[1 – ΔZ_p / (Z₀ – Z_Q)],
n’est pas immédiate du fait de la fonction logarithme.

Sauf bien sûr si Δt = 0 ; alors ΔZ_p = ΔZ
ou Z_p = Z_Q + [Z(p) – Z(Q)]

Ce sera malheureusement la seule formule exacte de ce paragraphe sur le calcul de Z_p.
Néanmoins, dans le cas où Δt est non nul, on peut trouver des expressions « plus exactes » que (M). Et même aussi exactes qu’on le veut (formules (11) ci-après).

En partant de la variante de la formule (3)
ΔZ = ΔZ_p – (Δt /µ) ln [1 – (µ ΔZ_p / T_std)] et en remplaçant la fonction logarithme par son développement limité d’ordre 2, on voit¹¹ que ΔZ_p peut être approché comme solution d’une équation du second degré :

(9) Z_p # Z_Q + {[T² + 2 µ [Z(p) – Z(Q)] Δt]^1/2 – T} (Z₀ – Z_Q) / Δt
ou (9 bis) ΔZ_p # [(T² + 2 µ ΔZ Δt)^1/2 – T] T_std / (µ Δt)
avec T_std = T_std(Z_Q) = T_0std – µ Z_Q = µ (Z₀ – Z_Q) et T = T_std + Δt

Toujours à partir de
ΔZ = ΔZ_p – (Δt /µ) ln [1 – (µ ΔZ_p / T_std)] on parvient, par un changement de variable inspiré de la démonstration de la formule (M), à un développement limité intéressant qui fournit¹² la valeur approchée de ΔZ_p par le calcul itératif suivant :

(10)

• On calcule K = 2 µ (Z₀ – Z_Q) + 2 Δt – µ [Z(p) – Z(Q)] soit K = µ [2 (Z₀ – Z_Q) – Z(p) + Z(Q)] + 2 Δt
• X_n+1 = µ [Z(p) – Z(Q)] / K – 2 Δt X_n² (3 + X_n + X_n²) / (3 K)
  X₀ = 0 –> X₁ = µ [Z(p) – Z(Q)] / K –> X₂ = µ [Z(p) – Z(Q)] / K – 2 Δt X₁² (3 + X₁ + X₁²) / (3 K) –> etc.
• Après itérations, on calcule Z_p – Z_Q = 2 X µ (Z₀ – Z_Q) / [µ (1 + X)] soit Z_p = Z_Q + 2 X (Z₀ – Z_Q) / (1 + X)
  

 

ou encore (10 bis)

• On calcule K = 2 T_std + 2 Δt – µ ΔZ ; avec T_std = T_std(Z_Q)
• X_n+1 = µ ΔZ / K – 2 Δt X_n² (3 + X_n + X_n²) / (3 K)
  X₀ = 0 –> X₁ = µ ΔZ / K –> X₂ = µ ΔZ / K – 2 Δt X₁² (3 + X₁ + X₁²) / (3 K) –> etc.
• Après itérations, on calcule ΔZ_p = 2 X T_std / [µ (1 + X)]

Remarques :

• Cette méthode est d’autant plus intéressante qu’il n’y a pratiquement pas besoin d’itérer le calcul. En pratique, on itère une fois pour vérifier la stabilité des premiers chiffres significatifs de X selon la précision recherchée.
  Une application numérique¹³  montre qu’avec ΔZ = Z_p – Z_Q # 25 kft et Δt = + 25°C ou – 25°C l’évaluation de ΔZ_p = Z_p –  Z_Q à partir de X₂ (premier calcul du polynôme) est exacte à 6 ft près ; la première itération (X₃, deuxième calcul du polynôme) donne pour ΔZ_p un résultat exact à moins de 1 ft près (!!)

• Le calcul de ΔZ_p à partir de X₁ = µ ΔZ / K est équivalent à l’application de la formule (M)

Enfin, en remontant à la formule (3bis), on peut trouver une autre méthode itérative en l’écrivant :
ΔZ_p = ΔZ + (Δt / µ) ln[1 – ΔZ_p / (Z₀ – Z_Q)]

D’où le calcul :
(11)

• Premier terme : Y₀ = ΔZ = Z(p) – Z(Q)
• Termes suivants : Y_n+1 = ΔZ + (Δt / µ) ln[1 – Y_n / (Z₀ – Z_Q)] = Z(p) – Z(Q) + (Δt / µ) ln[1 – Y_n / (Z₀ – Z_Q)]
• ΔZ_p = dernier Y_i calculé ou Z_p = Z_Q + dernier Y_i calculé, l’arrêt du calcul étant décidé quand la stabilité des chiffres significatifs est atteinte selon la précision recherchée.

L’application numérique déjà citée (note 13 ci-dessus) montre qu’avec ΔZ = Z_p – Z_Q # 25 kft et Δt = + 25°C ou – 25°C, l’évaluation de ΔZ_p = Z_p – Z_Q à partir de Y₁ (premier terme calculé) est fausse de 270 ft environ, mais que Y₂ donne une erreur de 30 ft et Y₃ une erreur de 3 ft. Les termes suivants donnent un résultat exact à moins de 1 ft près.
La convergence vers un résultat précis est donc moins rapide qu’avec l’itération décrite par les formules (10) ou (10 bis). Par contre, comme cette itération est faite sans approximation de la fonction logarithme, elle converge vers un résultat diaboliquement (et inutilement) exact.
L’avantage des formules (11) est en fait d’être plus faciles à entrer dans un tableur ou une calculette programmable, car il y a moins de risques d’erreurs de saisie. Et comme ensuite c’est la machine qui travaille, la convergence moins rapide n’est pas un problème. En fait, cette solution revient très exactement à utiliser, si elle existe, la fonction « solver » du tableur ou de la calculette à partir de la formule (3 bis).

Applications du calcul de Z_p

Si on applique les formules (M), (9), (10), (11) et leurs variantes aux 4 cas Q = QFF, QFE, QNH et 1013, on arrive à un formulaire très lourd. Nous allons donc nous limiter à traiter chaque cas avec, à titre d’exemple, la formule
(9) Z_p # Z_Q + {[T² + 2 µ [Z(p) – Z(Q)] Δt]^1/2 – T} (Z₀ – Z_Q) / Δt.
L’emploi des autres formules en découle immédiatement.

• Calcul de Z_p connaissant Z(p) et le QFF
  Le QFF étant dans la fenêtre de calage, Z_QFF # 0,0276 (p_0std – QFF)
  T_std = T_std(Z_QFF) = µ (Z₀ – Z_QFF) et T = T_std + Δt
  Dans (9), Z(Q) = Z(QFF) = 0 par définition du QFF.
  Donc on a (12) Z_p # Z_QFF + {[T² + 2 µ Z(p) Δt]^1/2 – T} (Z₀ – Z_QFF) / Δt

• Calcul de Z_p connaissant Z(p) et le QFE
  Si le QFE est dans la fenêtre de calage, Z_QFE # 0,0276 (p_0std – QFE)
  Sinon, Z_QFE = Z₀ [1 – (QFE / p_0std)^1/α] T_std = T_std(Z_QFE) = µ (Z₀ – Z_QFE) et T = T_std + Δt
  Dans (9), Z(Q) = Z(QFE) = Z_AD, par définition du QFE.
  Donc on a (13) Z_p # Z_QFE + {[T² + 2 µ [Z(p) – Z_AD] Δt]^1/2 – T} (Z₀ – Z_QFE) / Δt

• Calcul de Z_p connaissant Z(p) et le QNH
  Le QNH étant dans la fenêtre de calage, Z_QNH # 0,0276 (p_0std – QNH)
  Contrairement aux deux cas précédents, nous n’avons pas d’information sur Z(QNH). Par contre, nous savons que Z_QFE – Z_QNH = Z_AD
  Donc nous pouvons calculer Z_QFE = Z_QNH + Z_AD
  Pour terminer, nous appliquons le résultat (13) du cas précédent, auquel nous nous sommes ramenés.

Comparaison des différentes formules

L’application numérique déjà mentionnée plusieurs fois (note 13 ci-dessus) donne une idée de la précision des 3 formules.
Elle suppose que ΔZ = 27,47 kft (Δt = + 25°C) ou 22,53 kft (Δt = – 25°C) et que Z_Q = 5 kft
Ce qui doit conduire dans les deux cas à ΔZ_p = 25 kft

• La formule (M) n’est normalement pas applicable avec T_std = T_std(5 kft) puisque Z_p = 25 kft dépasse le FL 120. Ce qui se traduit effectivement par une erreur de 250 ft pour Δt = – 25°C (cas le plus difficile).
  Si on approche le calcul de T_std = T_M à mi-parcours entre Z_Q et Z_p, par T_std[5 + (ΔZ / 2)]  l’erreur maxi passe à 25 ft.
  Si on utilise la valeur approchée ci-dessus, on peut calculer T_std = T_std[5 + (25 / 2)] ; l’erreur maxi passe alors à 9 ft ce qui confirme la validité de la formule (M) si T_std est bien évaluée à mi-parcours.

• La formule (9) ramène l’erreur maxi à 31 ft

• Les formules (10) ramènent l’erreur maxi à 6 ft, puis moins de 1 ft dès la première itération. Le premier coefficient calculé (X₁) redonne bien le résultat de la formule (M) (erreur de 250 ft).

• Les formules (11) nécessitent plus d’itérations (4 termes calculés au lieu de 2 pour une erreur de moins de 1 ft), mais sont d’un emploi plus facile et conduisent à un résultat aussi précis que voulu.

7 – Synthèse de la démarche

On a introduit au § 4.1 (But de l’altimètre) l’idée de se repérer verticalement dans l’atmosphère réelle grâce à la pression p, ou de façon équivalente mais facilitée par l’utilisation de l’altimètre, par l’altitude pression Z_p. On n’a pas retenu l’idée du baromètre gradué en K grâce à la correspondance entre pression p et température standard T_std !

On sait maintenant que la caractérisation des déplacements verticaux par la mesure de la variation ΔZ_p d’altitude pression est commode puisque la valeur correspondante de la variation ΔZ de l’altitude réelle s’en déduit aisément.
Si Δt = 0, ΔZ = ΔZ_p.
Si Δt est non nul, on peut dire en gros, c’est-à-dire en s’en tenant à la formule approchée (M) que ΔZ # ΔZ_p (T_std + Δt) / T_std et même ΔZ # ΔZ_p (T_0std + Δt) / T_0std. Ce qui revient à dire qu’une mesure de ΔZ_p donne ΔZ par simple application d’un facteur (1 + Δt / T_0std) : tout se passe comme si on cherchait à mesurer les variations d’altitudes réelles avec une règle graduée en altitudes pressions mais construite avec un matériau présentant un coefficient de dilatation de 1 / T_0std = 3,5 pour mille, ou plus commodément 1 % par tranche de 3°C, ou encore 100 ft par tranche de 3000 ft et de 10°C.
Si on approfondit grâce aux formules exactes, on peut dire qu’en toute rigueur, le coefficient de dilatation augmente un peu avec l’altitude pression, mais l’image demeure valable.

En dehors d’être sensible à l’écart de température Δt (mais maintenant on sait corriger l’erreur de mesure) notre règle graduée en altitudes pressions peut se déplacer verticalement. La définition des niveaux particuliers de pression Q = QFF, QNH et QFE permet de la caler en établissant une correspondance entre les altitudes réelles Z(Q) et les altitudes pressions Z_Q.

L’étude de ces pressions particulières a permis d’appliquer les formules introduites tout au long du présent document. On peut imaginer d’autres applications intéressantes. Ce sera le cas de la page « Application pratique » constituant la suite conseillée (ci-dessous) de la présente page.

8 – Conclusion

Pour rester (ou redevenir…) pratique, j’aimerais insister sur la remarque « En pratique, pas de zèle intempestif » en fin du § 6.2.

 

Suite conseillée : l’application pratique de la présente présentation détaillée de l’atmosphère : calcul de la pression atmosphérique et de la densité de l’air sur un aérodrome, connaissant l’altitude Z_AD de cet aérodrome, le QNH et Δt.