Application au DR400

On abordera successivement :

1 – Bases du modèle

1.1 – Représentation graphique de Cz
1.2 – Paramètres du modèle

2 – Détermination des paramètres

2.1 – Vitesses de décrochage Vs
2.2 – Finesse max
2.3 – Performances en palier à vitesse constante
2.4 – Cohérence des données du manuel de vol
2.5 – Comportement du modèle en fonction des paramètres et des performances retenues
2.6 – Hypothèses de travail pour la suite
2.7 – Polaires

Nous pouvons maintenant appliquer ce que nous venons d’établir, au modèle mathématique du DR400/180.

1 – Bases du modèle

Le modèle est constitué d’une aile unique paramétrée pour être aussi proche que possible de l’avion réel.

Cz et Cx sont définis par :

Cz = a α tant que α reste inférieur ou égal à α_d – 2
Cx = b + c α²

Comme vu précédemment, la surface S utilisée dans les équations aérodynamiques du modèle apparait comme une constante multiplicative arbitraire, puisque les paramètres a, b et c interviennent toujours (comme Cx et Cz) en facteur avec S, ce qui fait que les « vrais » paramètres sont a S, b S et c S.

Nous prendrons S = S_a (surface alaire donnée par le manuel de vol), ce qui fait de e = a² / (π λ c) un bon indicateur de l’efficacité aérodynamique de notre avion, comme le coefficient d’Oswald a_a² / (π λ c_a) est un bon indicateur de l’efficacité de l’aile seule.

1.1 – Représentation graphique de Cz

Pour obtenir une représentation graphique de la courbe Cz(α) similaire aux courbes trouvées dans la littérature, il nous faut faire quelques hypothèses complémentaires pour α > α_d – 2.

Nous avons déjà vu que le Cz maximum Cz_max est obtenu pour α = α_d, et admis que Cz_max = a (α_d – 1).

Nous pouvons définir les points de la courbe Cz(α) comme suit au voisinage de α = α_d :

Les deux derniers points de la courbe sont « encore plus arbitraires » que les précédents, il est donc bien clair qu’aucune utilisation du modèle ne sera possible au-delà de α = α_d.

Un calcul élémentaire montre que de α = α_d – 2 à α = α_d + 2, Cz(α) = a [α_d – (α_d – α)² / 4] ; on note que dCz/dα = a (α_d – α)/ 2 et donc que pour α = α_d – 2, dCz/dα = a ce qui assure un raccordement correct avec la droite Cz = a α.

1.2 – Paramètres du modèle

Pour chacune des trois configurations possibles (lisse, 1 cran de volets ou 2 crans de volets) on définit le modèle par 5 paramètres a, b, c, K, et α_d, ce qui donne 15 paramètres.

A ces 15 paramètres s’ajoutent des paramètres globaux :

• la masse maximum m_M, ou, dans le cas du DR400/180, m_Md (masse max au décollage) et m_Ma (masse max à l’atterrissage)
• la surface alaire S_a
• l’allongement de l’aile λ ; ou de façon équivalente puisque E² = λ S_a,
• l’envergure E
• la puissance maximum du moteur à ρ = ρ₀, P₀
• le régime correspondant n₀
• les deux constantes Qh et Uh qui déterminent [équation (19)] la traction T en fonction de la puissance P du moteur, de son régime n et de la vitesse V : T = Qh P / n + Uh ρ V²
• le coefficient F de frottement de roulement (que nous verrons plus loin).

Soit, dans le cas du DR400/180, 15 + 9 = 24 paramètres.
La surface S, que nous avons arbitrairement prise comme égale à la surface alaire S_a, n’apparait bien sûr plus parmi les paramètres. Quand à l’allongement de l’aile λ, il n’est utilisé que dans l’expression de l’indicateur e = a² / (π λ c) et pour l’étude de l’effet de sol où il intervient indirectement par l’envergure E.

L’idée générale est que ces paramètres doivent nous permettre de calculer toutes les performances de l’avion.
Réciproquement, nous espérons que le manuel de vol, qui fournit déjà explicitement 6 paramètres (m_Md, m_Ma, S_a, λ, P₀ et n₀), nous donnera assez d’informations sur les performances pour nous permettre de déterminer les 18 autres paramètres par le calcul²⁰.

2 – Détermination des paramètres

2.1 – Vitesses de décrochage Vs

L’équation (11) établie au § 6 de la page aérodynamique donne

Vs² = 2 m g / [a ρ S (α_d – 1)].

Avec S = S_a, cette équation permet de déterminer le produit a (α_d – 1) = Cz_max connaissant m et ρ.

Le manuel de vol indique que la vitesse Vs0 de décrochage avec 2 crans de volets est égale à 95 km/h « au poids maximum », ce qui ne dit pas si c’est à la masse maximum à l’atterrissage m_Ma = 1 045 kg ou à la masse maximum au décollage m_Md = 1 100 kg.

Mais par ailleurs, il précise que lors de l’atterrissage avec 2 crans de volets et (là c’est explicite) m = m_Ma, l’approche se fait à la vitesse indiquée conseillée de 125 km/h. Il ajoute que cette vitesse correspond à 1,3 Vs0. Pour des raisons de cohérence, cette dernière remarque milite pour que Vs0 soit aussi donnée pour m = m_Ma ; mais 1,3 x 95 = 123,5 km/h et non 125 km/h, donc « ça ne colle pas ».

Connaissant la précision des pilotes d’essais, on se dit qu’il y a une raison :

• Première piste : 125 est la valeur arrondie de 123,5 ; évidemment, on ne peut pas éliminer cette possibilité…
• Deuxième piste : Vs0 est en fait donnée pour m = m_Md
  Pour m = m_Ma, on doit alors avoir Vs = Vs0 (m_Ma / m_Md)^1/2 = 95 x (1045 / 1100)^1/2 = 92,6 km/h.
  Dans ce cas, c’est encore pire puisque 1,3 Vs = 1,3 x 92,6 = 120,4 km/h.
• Troisième piste : Vs0 est bien donnée pour m = m_Ma, mais le manuel de vol fournit la valeur 95 km/h indiquée par le badin (ou IAS pour indicated air speed) alors que la valeur exacte (en l’occurrence CAS pour calibrated air speed) est 125 / 1,3 = 96,2 km/h.
  Ceci constituerait une légère correction au paragraphe du manuel de vol qui garantit la précision de la chaîne anémométrique et indique qu’aucune correction de la vitesse indiquée au badin n’est nécessaire (ou encore que IAS = CAS).

Cette dernière hypothèse n’entraîne pas d’énormes différences avec la première, et est quand même plus intéressante. C’est celle que nous retiendrons. On admettra donc que pour 2 crans de volets, Vs0 = 96,2 km/h (CAS), et que la vitesse de 95 km/h (IAS) qui est alors indiquée nécessite une petite correction due au grand angle d’incidence. Par similitude avec les données d’autres avions, on peut admettre que l’erreur décroit quand
on passe de 2 crans à 1 cran puis en lisse.

On obtient alors le tableau suivant :

Sachant que les vitesses de décrochage sont données par le manuel de vol pour ρ = ρ₀, on a Cz_max = 2 m_Ma g / [ρ₀ S Vs²].

Avec m_Ma = 1 045 kg, g = 9,80665 m/s², ρ₀ = 1,225 kg/m³ et S = S_a = 14,2 m², on obtient :

• En lisse, où Vs = (105,8 / 3,6) m/s : Cz_max = 1,36
• Avec 1 cran de volets, où Vs = (100,0 / 3,6) m/s : Cz_max = 1,53
• Avec 2 crans de volets, où Vs = (96,2 / 3,6) m/s : Cz_max = 1,65

C’est plausible d’après les valeurs que l’on trouve dans la littérature.

Par ailleurs, plusieurs sources concordantes indiquent que lorsqu’on passe successivement d’une configuration lisse à 1 cran puis 2 crans de volets, le coefficient a n’augmente pas ou très peu, mais que ce sont α_d et surtout K qui augmentent. Pour ce dernier, nous l’avions déjà vu dans le dossier aérodynamique.

Donc, pour la suite, j’admets que le paramètre « a » a la même valeur pour un et deux crans de volets qu’en lisse.

Du fait que Cz_max = a (α_d – 1), α_d et a sont liés. Avec a constant, et α_d = 15° en lisse (valeur a priori basse), on a avec 2 crans de volets : α_d – 1 = (15 – 1) x 1,65 / 1,36 et donc α_d = 17,985° (valeur a priori haute).
Il est donc très probable que α_d = 15° en lisse soit une bonne approximation, et que de ce fait a = Cz_max / (α_d – 1) = 1,36 / 14 soit une bonne estimation initiale de a.

2.2 – Finesse max

Selon le manuel de vol du DR400/180, la finesse maximum f_max = max (Cz / Cx) = 9,5 est obtenue en lisse. Cette valeur de 9,5 semble prudente, et d’autres sources donnent d’ailleurs 10.

Par contre, le manuel de vol n’indique pas explicitement à quelle masse est donnée la vitesse de finesse maximum Vf ; comme la donnée de Vf suit le tableau des performances en palier qui est donné pour m = m_Md = 1 100 kg, on peut penser que c’est aussi le cas pour Vf, mais sans certitude.

Nous tenterons de lever ce doute au paragraphe 2.4.

2.3 – Performances en palier à vitesse constante

On a vu au § 10 de la page aérodynamique que le manuel de vol fournit, dans des conditions précisées (type d’hélice, masse m, etc.), un tableau des performances en palier qui donne la valeur de la vitesse Vc pour différentes valeurs de l’altitude pression Zp (et donc de ρ), de la puissance P donnée par P / P₀ et du régime n.

Les tableaux correspondant à quelques types d’hélice sont repris dans le fichier Excel v_crois. La suite utilise la première feuille de calcul, qui porte sur l’hélice bipale à pas fixe Sensenich ou Hoffmann, et pour laquelle les performances sont données pour Pmax = 180 HP, et avec m = m_Md = 1 100 kg.

Pour chaque ligne de ce tableau, les données doivent vérifier les équations (20), (21) et (22). Ces équations ont donc été entrées dans la feuille de calcul.
Les cases en bleu sont les paramètres explicitement donnés par le manuel de vol, et les cases en vert les paramètres que l’on cherche à déterminer. Le paramètre K n’apparait pas, ce paramètre ayant disparu des équations du fait de l’approximation α – K # 0.

Remarque : on se limite aux lignes complètement renseignées, c’est-à-dire celles pour lesquelles le manuel de vol donne bien le régime du moteur ; les autres lignes font par curiosité l’objet d’investigations, mais ne sont pas prises en compte pour la recherche des paramètres optimums.

A titre indicatif, une colonne rendement donne la valeur de r = T V / P, sachant que T est donné par l’équation (13)
T = Qh P / n + Uh ρ V² ; donc r = Qh V / n + Uh ρ V³ / P.

Avec a (ou α_d plus « parlant »), b et c donnés, la feuille de calcul permet par exemple de rechercher quelle valeur de Qh donne une valeur constante de Uh. Il suffit pour cela de minimiser, à l’aide de la fonction solver, la somme des écarts entre la valeur de Uh trouvée sur chaque ligne et la valeur moyenne de Uh sur l’ensemble des lignes.

Mais avant d’utiliser cette feuille de calcul, on doit vérifier la vraisemblance de sa première ligne (vitesse de croisière Vc à puissance maximum), et sa cohérence avec les autres données du manuel de vol, dont f_max et Vf.

2.4 – Cohérence des données du manuel de vol

Les calculs présentés ici sont réalisés à l’aide d’un tableur Excel dans le fichier  coherenc.
Pour conserver la convention déjà utilisée, les cases en bleu sont les paramètres explicitement donnés par le manuel de vol, et les cases en vert les paramètres que l’on cherche à déterminer.

Pour limiter le nombre de paramètres à faire varier, on peut éliminer le paramètre a qui est à peu près connu, et pour cela se fixer α_d = 15° en lisse qui, comme on l’a vu, est une valeur très probable.

Il s’agit d’abord de répondre à la question du paragraphe 2.2, qui est de savoir si, pour les valeurs f_max = 9,5 et Vf = 150 km/h, la valeur de Vf a été donnée pour m = m_Md ou pour m = m_Ma. En fonction de l’hypothèse sur m, il est facile de calculer b et c en fonction de ces valeurs de f_max et Vf.

La première ligne du tableau des performances, donnant la vitesse de croisière Vc dans le cas où P = P₀ au niveau de la mer, est suffisante pour étudier les deux cas possibles :

• Si m = m_Md : l’indicateur de qualité e est égal à 0,8 ce qui est plutôt élevé, mais surtout on obtient pour le rendement d’hélice r un résultat totalement aberrant, puisque r = 1,2…
  Pour ramener r à une valeur (encore optimiste) de 0,9 il faudrait que Vc = 248 km/h au lieu des 278 km/h donnés par le manuel de vol.
• Si m = m_Ma, les choses s’arrangent pour e qui passe à la valeur de 0,76 ; mais il faut quand même réduire Vc à 252 km/h pour que r = 0,9.

Donc la comparaison semble pencher en faveur de m = m_Ma, mais elle met surtout en lumière l’incohérence des données f_max, Vf et Vc du manuel de vol.

Pour être complet dans l’étude de la vraisemblance des données du manuel de vol, on peut ajouter la seule performance donnée en lisse et que nous n’ayons pas encore prise en compte : la vitesse optimum de montée.
Sur une des pages de procédures normales, cette vitesse est donnée entre 160 et 170 km/h et, une fois de plus, la masse n’est pas précisée même si s’agissant d’une montée après décollage on peut deviner qu’elle est donnée avec m = m_Md.
Sur la page des performances de montée, elle est donnée à 170 km/h avec une vitesse verticale VZ = 4,2 m/s (= 830 ft/min) pour ρ = ρ₀ et m = m_Md ; pour ρ = ρ₀ et m = 900 kg, on nous dit que VZ = 5,8 m/s (= 1 140 ft/min) sans autre
précision sur ce qu’est devenue la vitesse.
Malheureusement, cette vitesse optimum n’est pas forcément la vitesse de montée à taux maximum que l’on peut noter VY, mais peut lui être supérieure de façon à garantir un meilleur refroidissement du moteur ; nous admettrons que VY = vitesse de montée optimum + 0 – 10 km/h, et que du même coup VZ ≥ 830 ft/min.

Enfin, le manuel de vol ne donne pas la vitesse VX de montée à pente maximum en lisse, mais donne VX = 130 km/h avec un cran de volets, et par le contexte on peut penser que c’est à m = m_Md. On peut s’attendre à ce qu’en lisse on ait aussi une vitesse VX voisine de 130 km/h.
On a donc trois vitesses à puissance maximum données pour m = m_Md, Vc en palier, VY et VX en montée. Il est intéressant de vérifier si la formule approchée VX⁴ = (3 VY² – Vc²) / (Vc^-2 + VY^-2) s’applique.
Avec Vc = 278 km/h, VY = 160 km/h donne un calcul impossible pour VX puisque (3 VY² – Vc²) est négatif, VY = 165 km/h donne VX = 97 km/h (!!), et VY = 170 km/h donne VX = 119 km/h.
On peut déjà affirmer que Vc = 278 km/h est optimiste. Plus précisément, pour que VX = 130 km/h, il faut que Vc = 247 km/h pour VY = 160 km/h, Vc = 259 km/h pour VY = 165 km/h et Vc = 270 km/h pour VY = 170 km/h.

On peut manipuler les données du manuel de vol dans tous les sens, il faut bien admettre que pour ce qui est des paramètres en lisse, le manuel de vol est un peu la bouteille à l’encre : tout dépend des performances que l’on décide de croire, sachant que le modèle ne saurait les retrouver toutes dès lors qu’on a établi qu’elles sont contradictoires comme le prouve le rapprochement de Vc, f_max et Vf, ou Vc, VY, et VX, et d’autres rapprochements similaires.
De plus, quand on trouve un sous-ensemble cohérent des performances, il conduit le plus souvent à des valeurs trop optimistes (élevées) de e et de r : il est difficile d’admettre que e = 0,9 ou r = 0,95 quand toutes les sources indiquent des valeurs typiques bien plus basses, par exemple e compris entre 0,7 et 0,8 et r de l’ordre de 0,84 ou 0,85 en croisière.

Plutôt que de justifier un choix forcément contestable, je préfère adopter la démarche suivante, que chacun pourra adapter :

• voir quel est le lien entre les paramètres et les performances, ie comprendre comment réagit le modèle à tel ou tel choix
• adopter pour la suite une hypothèse de travail raisonnablement proche du manuel de vol, mais forcément arbitraire
• demander à Robin Aircraft de préciser les points qui posent problème.

Bien que ma première demande auprès de Robin Aircraft (Robin Aviation à l’époque) sur les distances d’atterrissage avec un cran de volets se soit soldée par une fin de non recevoir, j’espère que j’aurai cette fois une réponse sur les compléments au manuel de vol.
A défaut, je me rabattrai sur mes propres estimations par mesure des performances réelles d’un avion particulier en espérant qu’il soit représentatif.

2.5 – Comportement du modèle en fonction des paramètres et des performances retenues

Il est commode, pour vérifier ce qui suit sur des exemples numériques, de se reporter à la feuille Excel coherenc présentée plus haut.

On a vu que pour limiter le nombre de paramètres, on adopte la valeur très probable α_d = 15° en lisse qui, avec S = S_a = 14,2 m², détermine le paramètre a.

Le choix de f_max et Vf (supposés données pour m = m_Ma) entraine la détermination des paramètres b et c en lisse, ainsi que la valeur de e (ce qui permet d’éliminer d’emblée des hypothèses irréalistes sur f_max et Vf.

Le choix de Vc (via un coefficient modérateur appliqué à la valeur Vc = 278 km/h donnée par le manuel de vol) influe sur le rendement d’hélice r, sur la valeur de VY et sur la valeur correspondante VZmax de VZ. Le choix de Qh ne joue que sur les deux derniers (VY et VZmax).
Il est donc commode de modifier Vc pour obtenir un rendement r présummé normal, puis de régler Qh pour obtenir la valeur de VZmax voulue. Mais on peut procéder dans un autre ordre.
Les valeurs résultantes de VY et VX constituent des indicateurs de vraisemblance des paramètres auxquels on est parvenu.

2.6 – Hypothèses de travail pour la suite

En attendant mieux (données corrigées du constructeur ou mesures sur un avion supposé représentatif), je choisis donc un compromis raisonnable comme hypothèse de travail :

• les vitesses de décrochage sont déterminées avec m = m_Ma
• la vitesse de finesse max Vf est aussi déterminée avec m = m_Ma
• α_d = 15° en lisse ; avec S = S_a = 14,2 m², on trouve a = 0,097 44
• f_max = 9,5
• Vf = 153 km/h
• on note alors que e = 0,733 ; par ailleurs, b = 0,034 14 et c = 0,000 77
• Vc = 248 km/h (pleine puissance au niveau de la mer) soit 89,2% de la valeur indiquée par le manuel de vol
• on note alors que r = 0,84 (valeur typique que j’ai en fait prise comme hypothèse de travail)
• Pour obtenir VZmax = 830 ft/min pour m = m_Md = 1 100 kg, il faut adopter Qh = 0,847 ; on a alors Uh = – 0,153, et VY = 165 km/h ; on note aussi que VX # 139 km/h.
  Pour m = 900 kg, on trouve alors VZmax = 1 190 ft/min soit un peu plus que les 1 140 ft/min indiqués par le manuel de vol.
• K = 2,7° (valeur de α dans le cas de la croisière à 100% de Pmax et au niveau de la mer)

Explication du choix de K :
Pour une pente donnée γ, K fixe le lien entre α et l’assiette θ par θ + K = γ + α, soit θ = γ + α – K
Le mieux serait d’attendre l’étude de l’atterrissage pour caler θ à une valeur habituelle de 5 ou 6° au moment du toucher des roues. Mais on peut trouver une valeur raisonnable en attendant, en prenant l’hypothèse d’une assiette nulle à la vitesse de croisière à 100% de Pmax ; comme la pente est alors nulle (vol horizontal), on a bien K = α # 2,7°.

Si on utilise ces paramètres, le tableau Excel v_crois des performances en croisière fait apparaître des vitesses de croisière de 83 à 89 % de celles données par le manuel de vol, donc significativement plus basses. Dans le même temps, on constate que le rendement r varie entre 0,82 et 0,84 ce qui est un peu bas et laisse penser que les vitesses de croisière ainsi trouvées sont un peu pessimistes.
Mais je les crois néanmoins plus proches de la réalité que celles du manuel de vol…

2.7 – Polaires

Le document de travail pour ce paragraphe sera le fichier Excel  modele, en commençant par la feuille de calcul « Graphes ».

On a vu que a variant peu en fonction de la configuration, on peut admettre que ce paramètre a la même valeur pour un et deux crans de volets qu’en lisse, soit a = 0,097 44. Les valeurs de α_d pour un et deux crans de volets en découlent.

Avec b, c et K en lisse définis au paragraphe précédent, on a donc déterminé à ce stade les paramètres suivants :

On appelle polaire la courbe représentant Cz en fonction de Cx pour une configuration donnée (lisse, 1 cran ou 2 crans de volets). Elle est facile à tracer à l’aide d’un tableur, puisqu’il suffit de faire varier α de 0 à α_d par pas de 1°, de calculer Cz et Cx pour chaque valeur de α, et de tracer le graphe (graphe « nuage de points ») de Cz en fonction de Cx.

On a intérêt à tracer les trois polaires, correspondant aux trois configurations, sur un même graphe.
Il suffit pour cela de placer toutes les valeurs calculées les uns à la suite des autres :

• les trois configurations sont placées sur une seule colonne α, une seule colonne Cz et une seule colonne Cx
• les deux séries de points de deux configurations différentes – donc deux polaires différentes – doivent être séparées par une ligne vide pour éviter un trait intempestif allant de la fin d’une courbe au début de la suivante.

Le graphe « nuage de points » fait sur les deux colonnes Cz et Cx donne les trois courbes regroupées. L’avantage est que maintenant on peut faire varier les paramètres b, et c des configurations 1 cran et 2 crans de volets et voir se déplacer les courbes en fonction des choix de ces paramètres. On note que, comme prévu, K n’intervient ni sur Cx(α) ni sur Cz(α)

On peut aussi tracer les graphes de Cx en fonction de α, Cz en fonction de α et Cz en fonction de α – K (α – K est l’angle entre le vent relatif et l’axe de fuselage, habituellement appelé l’incidence d’avion) ; cette dernière présentation a l’avantage de ressembler à celles que l’on rencontre fréquemment dans la littérature. Et aussi l’avantage d’illustrer le rôle de K. C’est d’ailleurs la seule courbe qui bouge avec K.

Tout cela est réalisé dans la feuille « Graphes » du fichier Excel modele qui permet de voir immédiatement le résultat : courbes, et évolution de ces courbes en fonction des paramètres.

Le plus surprenant est que

• si l’on veut que les trois polaires soient correctement étagées, c’est-à-dire ne se recoupent pas plusieurs fois deux à deux,
• si, comme déjà dit, K croit au fur et à mesure de la sortie des volets,
• et si on ne modifie pas les paramètres déjà déterminés par le calcul,

alors la plage de réglage des paramètres restants s’avère assez faible.

Cela laisse penser que malgré le côté arbitraire de cette détermination graphique des paramètres, il y a de bonnes chances pour que le modèle soit proche de la réalité.

Néanmoins, il ne s’agit pas de s’arrêter là. La méthode que je me suis fixée consiste à enrichir le modèle en remplaçant dès que possible les paramètres « pifométrés » par des paramètres calculés, et les paramètres calculés sur des hypothèses ténues par des paramètres calculés sur des données précises. Par exemple, K en lisse déterminé par l’assiette nulle à la vitesse de croisière est à retoucher si on a une donnée plus crédible. De même, on retouchera les paramètres b et c de la configuration 2 crans de volets pour mieux coller au tableau des distances d’atterrissage donné par le manuel de vol.

Le tableau des paramètres est, pour l’instant, le suivant :

 

Suite conseillée : Etude du DR400 ou, directement, les conclusions de cette étude.

En effet, le modèle de DR 400 auquel nous sommes parvenus peut maintenant être complété et validé grâce au manuel de vol de cet avion. Mais, échange de bons procédés, ce modèle pourra, dans un deuxième temps, nous permettre d’éclairer des points laissés obscurs par le manuel de vol.